Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+5 x^{2}+x+2\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+5 x^{2}+x+2\right)^{3}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do parêntese é o polinômio \,x^{3}+5x^{2}+x+2.
  • O ponto de interesse do limite é x\to 0.
  • A operação exterior é elevar esse polinômio ao cubo.

Passo 2

Vou explicar as ferramentas que vou usar (curtinho e claro):
  • Regra da soma/constante/potência para limites: se existem os limites das parcelas, o limite da soma é a soma dos limites; o limite de uma constante é a própria constante; o limite de x^n quando x\to 0 é 0 para n\ge 1.
  • Continuidade e composição: a função g(y)=y^{3} é contínua em todos os pontos (funções polinomiais são contínuas). Para funções contínuas, vale que
\lim_{x\to a} g(f(x)) = g\!\left(\lim_{x\to a} f(x)\right),
desde que \lim_{x\to a} f(x) exista.
Breve explicação intuitiva: como pequenos erros na entrada causam pequenos erros na saída para funções contínuas, pode-se “trocar” a função pelo seu valor limite antes de aplicar g.
Exemplo rápido e simples: se \lim_{x\to 0} (x+1)=1, então \lim_{x\to 0} (x+1)^3 = 1^3 = 1.

Passo 3

Aplicar as regras de limite termo a termo ao polinômio interno.
Calculo cada termo quando x\to 0:
\lim_{x\to 0} x^{3} = 0, \qquad \lim_{x\to 0} 5x^{2} = 5\cdot 0 = 0, \qquad \lim_{x\to 0} x = 0, \qquad \lim_{x\to 0} 2 = 2.

Passo 4

Somando os limites das parcelas (regra da soma):
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{3}+5x^{2}+x+2\bigr) = 0+0+0+2 = 2.
Ou seja, o polinômio dentro do parêntese tende a \,2 quando x\to 0.

Passo 5

Agora aplico a continuidade da função y\mapsto y^{3} (ou a regra da potência para limites):
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{3}+5x^{2}+x+2\bigr)^{3} = \left(\lim_{x\to 0}\bigl(x^{3}+5x^{2}+x+2\bigr)\right)^{3}.
Como o limite interior é 2, temos que o limite total é 2^{3}.

Passo 6

Calculo o valor final:
2^{3} = 8.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: portanto o limite existe e é 8. Fácil de lembrar na prova: polinômios são contínuos — basta substituir o ponto — e depois aplicar a potência. Você já tem a resposta pronta para anotar!

Resposta

8

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