Resolva as seguintes EDOs:
(c) t y^{\prime}=t^{2}-3 y, t>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
t\,y'(t)=t^{2}-3y(t),\qquad t>0.
Informações dadas:
  • A variável independente é t e a dependente é y(t).
  • A equação vale apenas para \,t>0.
  • O que se pede é a solução geral y(t) da EDO para t>0.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por t (válido porque t>0) obtemos
y'(t)+\frac{3}{t}\,y(t)=t.
Aqui reconhecemos a forma padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
onde
p(t)=\frac{3}{t},\qquad q(t)=t.
Explicação rápida: expressar a EDO assim facilita o uso do fator integrante, um método comum para resolver lineares de 1ª ordem.

Passo 3

Apresento o método do fator integrante (mu). A ideia é encontrar uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t). Queremos \mu satisfazendo
\mu'(t)=\mu(t)\,p(t).
Isso garante que
\bigl(\mu(t)\,y(t)\bigr)'=\mu(t)\,y'(t)+\mu'(t)\,y(t)=\mu(t)\bigl(y'(t)+p(t)y(t)\bigr).
Assim, multiplicando a equação original por \mu obtemos (\mu y)'=\mu q, que é fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos \mu(t). Temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{3}{t}\,dt\right).
Calcule a integral:
\int \frac{3}{t}\,dt=3\ln t=\ln t^{3},
já que t>0 (não precisamos do valor absoluto). Portanto
\mu(t)=\exp(\ln t^{3})=t^{3}.
Comentário: é comum obter potências de t como fator integrante quando p(t) é proporcional a 1/t.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{3}. O lado esquerdo vira a derivada de t^{3}y e o lado direito fica t^{3}\cdot t=t^{4}. Ou seja,
\bigl(t^{3}y(t)\bigr)'=t^{4}.
Mostrando a conta expandida (opcional, para ver que bate):
t^{3}y'(t)+3t^{2}y(t)=t^{4},
que é equivalente à forma anterior multiplicada por t^{3}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(t^{3}y(t)\bigr)'\,dt=\int t^{4}\,dt.
A integral do lado esquerdo é t^{3}y(t) e a do direito é \dfrac{t^{5}}{5} mais constante de integração C. Logo
t^{3}y(t)=\frac{t^{5}}{5}+C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Isolando y(t) dividindo por t^{3} (novamente válido pois t>0), obtemos a solução geral:
y(t)=\frac{t^{2}}{5}+C\,t^{-3}.
Explicação do papel de C: ele representa a família de soluções que aparecem quando integramos; se houver uma condição inicial, usa-se essa condição para determinar C.

Passo 8

Observações finais e exemplo prático rápido: a solução particular obtida quando C=0 é \,y_p(t)=\dfrac{t^{2}}{5}. Se fosse dada uma condição inicial do tipo y(t_{0})=y_{0} com t_{0}>0, bastaria substituir em
y_{0}=\frac{t_{0}^{2}}{5}+C\,t_{0}^{-3}
e resolver para C:
C=t_{0}^{3}\!\left(y_{0}-\frac{t_{0}^{2}}{5}\right).

Resposta

y(t)=\frac{t^{2}}{5}+C\,t^{-3},\qquad t>0.

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