Resolva as seguintes EDOs:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A variável independente é
e a dependente é . - A equação vale apenas para
. - O que se pede é a solução geral
da EDO para .
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
) obtemos
Aqui reconhecemos a forma padrão
onde
Explicação rápida: expressar a EDO assim facilita o uso do fator integrante, um método comum para resolver lineares de 1ª ordem.
Passo 3
Apresento o método do fator integrante (mu). A ideia é encontrar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada de
. Queremos
satisfazendo
Isso garante que
Assim, multiplicando a equação original por
obtemos
, que é fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos
. Temos
Calcule a integral:
já que
(não precisamos do valor absoluto). Portanto
Comentário: é comum obter potências de
como fator integrante quando
é proporcional a
.
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira a derivada de
e o lado direito fica
. Ou seja,
Mostrando a conta expandida (opcional, para ver que bate):
que é equivalente à forma anterior multiplicada por
.
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
mais constante de integração
. Logo
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Isolando
dividindo por
(novamente válido pois
), obtemos a solução geral:
Explicação do papel de
: ele representa a família de soluções que aparecem quando integramos; se houver uma condição inicial, usa-se essa condição para determinar
.
Passo 8
Observações finais e exemplo prático rápido: a solução particular obtida quando
é
. Se fosse dada uma condição inicial do tipo
com
, bastaria substituir em
e resolver para
: