Resolva as seguintes EDOs:
(b) \left(y-x^{3}\right) d x+\left(y^{3}+x\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y-x^{3}\right)\,dx+\left(y^{3}+x\right)\,dy=0,
e pede a solução geral da EDO (ou seja, encontrar uma família de curvas que satisfaça essa relação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Não há condição inicial dada, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos reescrever e identificar as funções M e N. Colocando explicitamente:
M(x,y)=y-x^{3},\qquad N(x,y)=y^{3}+x.
Explicando: M(x,y) é o coeficiente que multiplica dx e N(x,y) é o coeficiente que multiplica dy. Esses nomes são úteis para testar se a forma diferencial é exata.

Passo 3

Teste de exatidão (passo importante). Uma forma M\,dx+N\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Um teste prático necessário (e suficiente em domínios simples) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos ambas as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y-x^{3}\big)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}+x\big)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a forma é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Método para resolver quando a forma é exata (explicando a ideia):
Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y-x^{3}.
Integrando essa igualdade em relação a x (tratando y como constante), obtemos \Phi(x,y) até uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x essa função some). Depois ajustamos essa função de y impondo que \Phi_y=N. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 5

Integração de M em relação a x. Integramos
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=y-x^{3}
com respeito a x:
\Phi(x,y)=\int (y-x^{3})\,dx = \int y\,dx - \int x^{3}\,dx.
Aqui y é tratado como constante ao integrar em x. Computando as integrais:
\int y\,dx = yx,\qquad \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Então obtemos
\Phi(x,y)=yx-\frac{x^{4}}{4}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 6

Determinar h(y) impondo \Phi_{y}=N. Calculemos \Phi_{y} a partir de \Phi(x,y)=yx-\dfrac{x^{4}}{4}+h(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x+h'(y).
Pelo requisito de exatidão isso deve ser igual a N(x,y)=y^{3}+x. Então:
x+h'(y)=y^{3}+x.
Subtraindo x dos dois lados:
h'(y)=y^{3}.
Agora integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Podemos incorporar C_{0} na constante final da solução.

Passo 7

Montando \Phi com h(y) encontrado:
\Phi(x,y)=yx-\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}+C_{0}.
A solução geral implícita da EDO é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Eliminando C_{0} e chamando a constante final de C, escrevemos a família de soluções:
yx-\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}=C.
Opcionalmente, para ficar sem frações, pode-se multiplicar por 4 e escrever
4xy-x^{4}+y^{4}=C',
onde C'=4C é outra constante arbitrária.

Passo 8

Observações finais e dicas para a hora da prova:
  • Sempre que uma forma M\,dx+N\,dy for exata, o procedimento é exatamente esse: integrar M em x (adicionar função de y), depois determinar essa função por comparação com N.
  • Se a forma não for exata, procurar um fator integrante (integrating factor) que dependa só de x ou só de y ou outro método; mas aqui não foi necessário porque já era exata.
  • A solução final está em forma implícita; geralmente isso é aceitável na prova, a menos que peçam explicitamente y em função de x.

Resposta

yx-\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{y^{4}}{4}=C

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