Resolva as seguintes EDOs:
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral da EDO (ou seja, encontrar uma família de curvas que satisfaça essa relação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está na forma
. - Não há condição inicial dada, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos reescrever e identificar as funções
e
. Colocando explicitamente:
Explicando:
é o coeficiente que multiplica
e
é o coeficiente que multiplica
. Esses nomes são úteis para testar se a forma diferencial é exata.
Passo 3
Teste de exatidão (passo importante). Uma forma
é exata se existe uma função
tal que
Um teste prático necessário (e suficiente em domínios simples) é verificar se
Calculemos ambas as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata. Isso significa que existe
com
e
.
Passo 4
Método para resolver quando a forma é exata (explicando a ideia):
Procuramos tal que
Procuramos
Integrando essa igualdade em relação a
(tratando
como constante), obtemos
até uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
essa função some). Depois ajustamos essa função de
impondo que
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 5
Integração de
em relação a
. Integramos
com respeito a
:
Aqui
é tratado como constante ao integrar em
. Computando as integrais:
Então obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 6
Determinar
impondo
. Calculemos
a partir de
:
Pelo requisito de exatidão isso deve ser igual a
. Então:
Subtraindo
dos dois lados:
Agora integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar
na constante final da solução.
Passo 7
Montando
com
encontrado:
A solução geral implícita da EDO é dada por
. Eliminando
e chamando a constante final de
, escrevemos a família de soluções:
Opcionalmente, para ficar sem frações, pode-se multiplicar por
e escrever
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 8
Observações finais e dicas para a hora da prova:
- Sempre que uma forma
for exata, o procedimento é exatamente esse: integrar em (adicionar função de ), depois determinar essa função por comparação com . - Se a forma não for exata, procurar um fator integrante (integrating factor) que dependa só de
ou só de ou outro método; mas aqui não foi necessário porque já era exata. - A solução final está em forma implícita; geralmente isso é aceitável na prova, a menos que peçam explicitamente
em função de .