Mostre que as seguinte sentença lógica (p \rightarrow q) \wedge(p \wedge \neg q) é uma contradição.

Passo 1

O enunciado dá a sentença proposicional
(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \neg q)
e pede para mostrar que ela é uma contradição.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As variáveis proposicionais são (p) e (q).
  • Os conectivos presentes são \rightarrow (implicação), \wedge (conjunção) e \neg (negação).
  • Objetivo: provar que a fórmula é sempre falsa, isto é, que é falsa para qualquer atribuição de verdade às variáveis (definição de contradição).

Passo 2

O que significa ser uma contradição?
Uma fórmula é uma contradição quando, para toda valuation (atribuição de verdade às variáveis), a fórmula avalia para falso. Em linguagem simples: não existe nenhum caso em que a fórmula seja verdadeira.

Passo 3

Vamos rever o significado dos conectivos que vamos usar:
  • (p \rightarrow q) é falso somente quando (p) é verdadeiro e (q) é falso; nas outras combinações é verdadeiro. Alternativamente, (p \rightarrow q) é logicamente equivalente a (\neg p \vee q).
  • (A \wedge B) é verdadeiro só quando ambos A e B são verdadeiros.
  • Regra de inferência importante (modus ponens): se temos (p \rightarrow q) e também temos (p), então podemos concluir (q). Isso é válido porque a implicação diz exatamente que quando p é verdadeira, q também precisa ser verdadeira.

Passo 4

Da fórmula composta usamos eliminação da conjunção para separar os termos. Se (X \wedge Y) é verdadeiro, então X é verdadeiro e Y é verdadeiro. Aplicando isso à nossa fórmula:
(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \neg q)
podemos obter, por eliminação da conjunção, as três fórmulas verdadeiras simultaneamente:
p \rightarrow q, \qquad p, \qquad \neg q.

Passo 5

Agora aplicamos o modus ponens às duas primeiras fórmulas obtidas:
\text{de }(p \rightarrow q)\text{ e }p \text{ segue } q.
Logo, a partir de (p \rightarrow q) e de (p) inferimos (q).

Passo 6

Passo direto: agora temos simultaneamente (q) e (\neg q). A conjunção (q \wedge \neg q) é sempre falsa (é o exemplo clássico de contradição), porque uma proposição e a sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto, a conjunção original implica uma fórmula sempre falsa.

Passo 7

Conclusão lógica: como a fórmula (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \neg q) conduz logicamente a (q \wedge \neg q), que é sempre falsa, então a fórmula original não pode ser verdadeira em nenhuma valuation — ou seja, é uma contradição.

Passo 8

Verificação por tabela-verdade curta (apenas 4 linhas, para confirmar):
  • Se (p=\text{V}, q=\text{V}): (p\rightarrow q)=\text{V}, (p\wedge\neg q)=\text{V}\wedge\text{F}=\text{F} → total = \text{F}.
  • Se (p=\text{V}, q=\text{F}): (p\rightarrow q)=\text{F}, (p\wedge\neg q)=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V} → total = \text{F}.
  • Se (p=\text{F}, q=\text{V}): (p\rightarrow q)=\text{V}, (p\wedge\neg q)=\text{F}\wedge\text{F}=\text{F} → total = \text{F}.
  • Se (p=\text{F}, q=\text{F}): (p\rightarrow q)=\text{V}, (p\wedge\neg q)=\text{F}\wedge\text{V}=\text{F} → total = \text{F}.
Em todas as 4 possibilidades o valor final é falso, confirmando que é contradição.

Resposta

A fórmula (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \neg q) é uma contradição.

Exercícios relacionados