Mostre que as seguinte sentença lógica
é uma contradição.
Passo 1
O enunciado dá a sentença proposicional
e pede para mostrar que ela é uma contradição.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
e pede para mostrar que ela é uma contradição.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As variáveis proposicionais são
e . - Os conectivos presentes são
(implicação), (conjunção) e (negação). - Objetivo: provar que a fórmula é sempre falsa, isto é, que é falsa para qualquer atribuição de verdade às variáveis (definição de contradição).
Passo 2
O que significa ser uma contradição?
Uma fórmula é uma contradição quando, para toda valuation (atribuição de verdade às variáveis), a fórmula avalia para falso. Em linguagem simples: não existe nenhum caso em que a fórmula seja verdadeira.
Uma fórmula é uma contradição quando, para toda valuation (atribuição de verdade às variáveis), a fórmula avalia para falso. Em linguagem simples: não existe nenhum caso em que a fórmula seja verdadeira.
Passo 3
Vamos rever o significado dos conectivos que vamos usar:
-
é falso somente quando é verdadeiro e é falso; nas outras combinações é verdadeiro. Alternativamente, é logicamente equivalente a . -
é verdadeiro só quando ambos e são verdadeiros. - Regra de inferência importante (modus ponens): se temos
e também temos , então podemos concluir . Isso é válido porque a implicação diz exatamente que quando é verdadeira, também precisa ser verdadeira.
Passo 4
Da fórmula composta usamos eliminação da conjunção para separar os termos. Se
é verdadeiro, então
é verdadeiro e
é verdadeiro. Aplicando isso à nossa fórmula:
podemos obter, por eliminação da conjunção, as três fórmulas verdadeiras simultaneamente:
Passo 5
Agora aplicamos o modus ponens às duas primeiras fórmulas obtidas:
Logo, a partir de
e de
inferimos
.
Passo 6
Passo direto: agora temos simultaneamente
e
. A conjunção
é sempre falsa (é o exemplo clássico de contradição), porque uma proposição e a sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto, a conjunção original implica uma fórmula sempre falsa.
Passo 7
Conclusão lógica: como a fórmula
conduz logicamente a
, que é sempre falsa, então a fórmula original não pode ser verdadeira em nenhuma valuation — ou seja, é uma contradição.
Passo 8
Verificação por tabela-verdade curta (apenas 4 linhas, para confirmar):
- Se
: , → total = . - Se
: , → total = . - Se
: , → total = . - Se
: , → total = .
Em todas as 4 possibilidades o valor final é falso, confirmando que é contradição.
Resposta
A fórmula
é uma contradição.