Mostre que as seguintes sentenças lógicas são tautologias:
(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow(p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sentença lógica
(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)
é uma tautologia. Ou seja, é preciso mostrar que essa fórmula é verdadeira para todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições p e q.
Informações dadas:
  • A fórmula a ser verificada é (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p).
  • Não há outras hipóteses; devemos considerar todas as quatro combinações de verdade para p e q.

Passo 2

Vou explicar o que significa cada conectivo (isto ajuda a entender as contas na hora da prova):
  • \neg r (negação): é verdadeira se e só se r for falsa.
  • r \wedge s (conjunção): é verdadeira se e somente se r e s forem verdadeiros.
  • r \vee s (disjunção): é verdadeira se ao menos um entre r e s for verdadeiro.
  • r \rightarrow s (implicação): é falsa apenas quando r é verdadeira e s é falsa; nos outros casos é verdadeira.
  • r \leftrightarrow s (bicondicional): é verdadeira quando r e s têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos).
Explicação do objetivo: mostrar tautologia significa verificar que a fórmula vale \text{Verdadeiro} para todas as atribuições possíveis de p e q. Vou primeiro fazer uma tabela-verdade (método direto e elementar), que é o jeito mais seguro em prova quando há poucas proposições.

Passo 3

Construção da tabela-verdade — listando as quatro combinações possíveis para (p,q): (\text{T},\text{T}), (\text{T},\text{F}), (\text{F},\text{T}), (\text{F},\text{F}). Para cada caso calculo os valores de \,p \leftrightarrow q\,,\; p \rightarrow q\,,\; q \rightarrow p\,,\; (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p)\, e finalmente o bicondicional entre o primeiro e o terceiro termo. Vou explicar cada linha passo a passo.

Passo 4

Linha 1: (p,q) = (\text{T},\text{T}).
  • \,p \leftrightarrow q é \text{T}, porque ambos têm o mesmo valor.
  • \,p \rightarrow q é \text{T}, pois \text{T} \rightarrow \text{T} é verdadeira.
  • \,q \rightarrow p é \text{T}, pois \text{T} \rightarrow \text{T} é verdadeira.
  • (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{T} \wedge \text{T} = \text{T}.
  • Finalmente (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{T} \leftrightarrow \text{T} = \text{T}.
Linha 2: (p,q) = (\text{T},\text{F}).
  • \,p \leftrightarrow q é \text{F}, porque valores diferentes.
  • \,p \rightarrow q é \text{F}, pois \text{T} \rightarrow \text{F} é falsa.
  • \,q \rightarrow p é \text{T}, pois \text{F} \rightarrow \text{T} é verdadeira.
  • (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{F} \wedge \text{T} = \text{F}.
  • Então (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{F} \leftrightarrow \text{F} = \text{T}.
Linha 3: (p,q) = (\text{F},\text{T}).
  • \,p \leftrightarrow q é \text{F}.
  • \,p \rightarrow q é \text{T}, pois \text{F} \rightarrow \text{T} é verdadeira.
  • \,q \rightarrow p é \text{F}, pois \text{T} \rightarrow \text{F} é falsa.
  • (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{T} \wedge \text{F} = \text{F}.
  • Então (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{F} \leftrightarrow \text{F} = \text{T}.
Linha 4: (p,q) = (\text{F},\text{F}).
  • \,p \leftrightarrow q é \text{T}, ambos falsos (mesmo valor).
  • \,p \rightarrow q é \text{T}, pois \text{F} \rightarrow \text{F} é verdadeira.
  • \,q \rightarrow p é \text{T}, pois \text{F} \rightarrow \text{F} é verdadeira.
  • (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{T} \wedge \text{T} = \text{T}.
  • Então (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) é \text{T} \leftrightarrow \text{T} = \text{T}.
Como em todas as quatro linhas o valor final da fórmula é \text{T}, concluímos pela tabela-verdade que a fórmula é verdadeira para toda atribuição de p e q. Portanto é uma tautologia.

Passo 5

Agora faço um método alternativo (álgebra de proposições) que costuma ser mais rápido em prova quando se pede provar equivalência de fórmulas. Vou mostrar que as duas partes são logicamente equivalentes por transformações usuais.
Começo com o lado direito:
(p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p).
Usando a equivalência r \rightarrow s \equiv \neg r \vee s, reescrevo cada implicação:
(p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) \equiv (\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee p).
Agora aplico a distributiva de \wedge sobre \vee. Uma forma prática é multiplicar como se fossem termos lógicos:
(\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee p) \equiv (\neg p \wedge \neg q)\\ \vee\\ (\neg p \wedge p)\\ \vee\\ (q \wedge \neg q)\\ \vee\\ (q \wedge p).
Observe que \neg p \wedge p é uma contradição (sempre falsa) e q \wedge \neg q também é contradição. Esses termos podem ser eliminados porque A \vee \text{F} \equiv A. Assim sobra:
(\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee p) \equiv (\neg p \wedge \neg q) \vee (p \wedge q).
Mas a expressão (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q) é exatamente uma forma canônica do bicondicional p \leftrightarrow q (ou seja, “ambos verdadeiros ou ambos falsos”). Portanto
(\neg p \wedge \neg q) \vee (p \wedge q) \equiv p \leftrightarrow q.
Com isso demonstramos por equivalências lógicas que
(p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p) \equiv p \leftrightarrow q,
o que implica
(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p)
é sempre verdadeiro — ou seja, é tautologia.

Resposta

(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) é uma tautologia.

Exercícios relacionados