Mostre que as seguintes afirmações são válidas para todo
, exceto quando for pedido outra coisa.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
O conteúdo é prova por indução matemática: vamos verificar primeiro o caso base e depois o passo de indução.
Passo 2
Caso base
.
O lado esquerdo fica
O lado esquerdo fica
e o lado direito é
Como
, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum , ou seja, assuma
Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum
Passo 4
Passo de indução
.
Então
Então
pela hipótese de indução é
Como
temos
Por outro lado,
também se expande para
Logo
fechando o passo de indução.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo
.