Mostre que as seguintes afirmações são válidas para todo n \in \mathbb{N}, exceto quando for pedido outra coisa.
\sum_{i=1}^{n}(2 i-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^{3}=n^{2}\bigl(2n^{2}-1\bigr).
O conteúdo é prova por indução matemática: vamos verificar primeiro o caso base e depois o passo de indução.

Passo 2

Caso base n=1.
O lado esquerdo fica
\sum_{i=1}^{1}(2i-1)^{3}=(2\cdot1-1)^{3}=1^{3}=1,
e o lado direito é
1^{2}\bigl(2\cdot1^{2}-1\bigr)=1\,(2-1)=1.
Como 1=1, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum k\in\mathbb{N}, ou seja, assuma
\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^{3}=k^{2}\bigl(2k^{2}-1\bigr).

Passo 4

Passo de indução k\to k+1.
Então
\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^{3} =\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^{3}+(2(k+1)-1)^{3}
pela hipótese de indução é
=k^{2}\bigl(2k^{2}-1\bigr)+(2k+1)^{3}.
Como
(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1,
temos
k^{2}(2k^{2}-1)+(8k^{3}+12k^{2}+6k+1) =2k^{4}+8k^{3}+11k^{2}+6k+1.
Por outro lado,
(k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr) =(k^{2}+2k+1)(2k^{2}+4k+1)
também se expande para
2k^{4}+8k^{3}+11k^{2}+6k+1.
Logo
\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^{3}=(k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr),
fechando o passo de indução.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^{3}=n^{2}\bigl(2n^{2}-1\bigr).

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