Verifique se cada uma das seguintes relações são relações de equivalência.
é a relação sobre
definida por
.
Passo 1
O enunciado define uma relação
em
por
Queremos verificar se isso é uma relação de equivalência, ou seja, se ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
(reflexividade)
Tomemos um par arbitrário . Para ver que
, basta notar que
Tomemos um par arbitrário
logo
vale ao escolher
e
. Assim
é reflexiva.
Passo 3
(simetria)
Suponha , isto é,
. Então trocando os lados obtemos
Suponha
o que mostra que
. Logo
é simétrica.
Passo 4
(transitividade)
Suponha e
. Isso significa
Suponha
Multiplicando a primeira igualdade por
dá
. Como
, substituímos em
para obter
Como
e
é domínio íntegro (sem divisores de zero), segue
, ou seja
. Portanto
e a relação é transitiva.
Resposta
Sim,
é uma relação de equivalência em
.