Verifique se cada uma das seguintes relações são relações de equivalência.
\equiv é a relação sobre \mathbb{Z}^{* 2} definida por (a, b) \equiv(c, d) \Leftrightarrow a d=b c.

Passo 1

O enunciado define uma relação \equiv em \mathbb{Z}^{*2}=(\mathbb{Z}\setminus\{0\})\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}) por
(a,b)\equiv(c,d)\quad\Leftrightarrow\quad ad = bc.
Queremos verificar se isso é uma relação de equivalência, ou seja, se ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

(reflexividade)
Tomemos um par arbitrário (a,b)\in\mathbb{Z}^{*2}. Para ver que (a,b)\equiv(a,b), basta notar que
a\cdot b = b\cdot a,
logo ad=bc vale ao escolher c=a e d=b. Assim \equiv é reflexiva.

Passo 3

(simetria)
Suponha (a,b)\equiv(c,d), isto é, ad=bc. Então trocando os lados obtemos
cb = da,
o que mostra que (c,d)\equiv(a,b). Logo \equiv é simétrica.

Passo 4

(transitividade)
Suponha (a,b)\equiv(c,d) e (c,d)\equiv(e,f). Isso significa
ad = bc \quad\text{e}\quad cf = de.
Multiplicando a primeira igualdade por f adf = bcf. Como cf = de, substituímos em bcf para obter
adf = b\,(de) = bde \;\Longrightarrow\; d\,(af - be) = 0.
Como d\neq0 e \mathbb{Z} é domínio íntegro (sem divisores de zero), segue af-be=0, ou seja af = be. Portanto (a,b)\equiv(e,f) e a relação é transitiva.

Resposta

Sim, \equiv é uma relação de equivalência em \mathbb{Z}^{*2}.

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