Mostre que as seguintes afirmações são válidas para todo n \in \mathbb{N}, exceto quando for pedido outra coisa.
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo n\in\mathbb{N}, vale
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} \;=\; 1 \;-\;\frac{1}{n+1}.
O conteúdo principal é soma de série telescópica, que exige decompor cada termo em frações simples.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de \frac{1}{i(i+1)}. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{i(i+1)} = \frac{A}{i} + \frac{B}{i+1}.
Multiplicando por i(i+1) obtemos
1 = A(i+1) + B\,i = (A+B)\,i + A.
Comparando coeficientes de i e termos constantes, vem
A+B=0, \quad A=1 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\;B=-1.
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\frac{1}{i(i+1)} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}.

Passo 3

Substituímos na soma:
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\Bigr).

Passo 4

Ao expandir essa soma telescópica, vemos que muitos termos se cancelam:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\Bigr) &= \Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) + \cdots + \Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr)\\\ &= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\\\ &= 1 - \frac{1}{n+1}. \end{aligned}

Resposta

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}.

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