Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Isso significa que precisamos verificar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechar sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero. Para isso, vamos precisar das definições básicas de espaços vetoriais e das operações em
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição dada:
Como a igualdade é verdadeira,
está em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Vamos somar essas duas equações:
Portanto,
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o produto
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 5
Finalmente, já verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Essas são exatamente as propriedades necessárias para
ser um subespaço vetorial de
.
Resposta
Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
sob as operações usuais.