Mostre que os seguintes conjuntos formam Z7-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
© W=x in Z7^2 mid 3 x1-5 x2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre . Isso significa que precisamos verificar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechar sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero. Para isso, vamos precisar das definições básicas de espaços vetoriais e das operações em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se o vetor zero está em 3 cdot 0 - 5 cdot 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz a condição dada:
Como a igualdade é verdadeira, está em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se 3u1 - 5u2 equiv 0 pmod7 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer 3v1 - 5v2 equiv 0 pmod7 e 3(u1 + v1) - 5(u2 + v2) = (3u1 - 5u2) + (3v1 - 5v2) equiv 0 + 0 equiv 0 pmod7 em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Vamos somar essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se 3u1 - 5u2 equiv 0 pmod7 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor c(3u1 - 5u2) = 3(c u1) - 5(c u2) equiv c cdot 0 equiv 0 pmod7 em e um escalar , o produto também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, também satisfaz a condição e está em .

Passo 5

Finalmente, já verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Essas são exatamente as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial de .

Resposta

Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre sob as operações usuais.

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