Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \cdot(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \cdot \vec{u}+f \vec{\nabla} \cdot \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá uma função escalar f (campo escalar) e um campo vetorial \vec{u}, e pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla} \cdot(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \cdot \vec{u}+f \vec{\nabla} \cdot \vec{u}.
Informações relevantes que temos: f é uma função suficientemente suave (diferenciável) e \vec{u} é um campo vetorial cujas componentes também são diferenciáveis. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos fixar a notação e lembrar definições básicas que vamos usar. Escrevemos o vetor \vec{u} por componentes (em coordenadas cartesianas) como
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
onde u_1,u_2,u_3 são funções de (x,y,z). A divergência de um campo vetorial \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é definida por
\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}.
O gradiente de um escalar f é o vetor
\vec{\nabla} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Também precisaremos da regra do produto para derivadas parciais: para duas funções diferenciáveis a(x,y,z) e b(x,y,z),
\frac{\partial}{\partial x}(ab)=\frac{\partial a}{\partial x}\,b + a\,\frac{\partial b}{\partial x},
e análogas para \partial/\partial y e \partial/\partial z. Essa é a versão multivariável da regra do produto que você já conhece de cálculo de uma variável.

Passo 3

Calculemos primeiro o produto escalar de f com \vec{u}. O campo vetorial f\vec{u} tem componentes
f\vec{u}=(f u_1,\, f u_2,\, f u_3).
Isso é simples: multiplicamos cada componente de \vec{u} pela função escalar f.

Passo 4

Aplicamos a definição de divergência ao campo f\vec{u}:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})= \frac{\partial (f u_1)}{\partial x} +\frac{\partial (f u_2)}{\partial y} +\frac{\partial (f u_3)}{\partial z}.
Aqui estamos apenas substituindo v_1=f u_1, v_2=f u_2, v_3=f u_3 na fórmula da divergência.

Passo 5

Agora usamos a regra do produto para cada derivada parcial. Vamos desenvolver o primeiro termo; os outros são análogos:
\frac{\partial (f u_1)}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial x}\,u_1 + f\,\frac{\partial u_1}{\partial x}.
De forma semelhante,
\frac{\partial (f u_2)}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial y}\,u_2 + f\,\frac{\partial u_2}{\partial y},
\frac{\partial (f u_3)}{\partial z} =\frac{\partial f}{\partial z}\,u_3 + f\,\frac{\partial u_3}{\partial z}.

Passo 6

Somando os três resultados do passo anterior temos
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u}) =\left(\frac{\partial f}{\partial x}u_1+\frac{\partial f}{\partial y}u_2+\frac{\partial f}{\partial z}u_3\right) + f\left(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}\right).
Agrupei os termos para evidenciar duas coisas: (i) os termos com derivadas de f multiplicadas por as componentes de \vec{u} e (ii) os termos com f multiplicando as derivadas das componentes de \vec{u}.

Passo 7

Reconhecemos as expressões do passo anterior como produto escalar entre \vec{\nabla} f e \vec{u}, e como divergência de \vec{u}. De fato,
\vec{\nabla} f \cdot \vec{u} =\frac{\partial f}{\partial x}u_1+\frac{\partial f}{\partial y}u_2+\frac{\partial f}{\partial z}u_3,
e
\vec{\nabla}\cdot\vec{u} =\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}.
Substituindo essas identidades na soma do passo anterior obtemos exatamente
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\vec{\nabla} f\cdot\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{u}.

Resposta

\vec{\nabla} \cdot(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \cdot \vec{u}+f \vec{\nabla} \cdot \vec{u}

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