Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O enunciado dá uma função escalar
(campo escalar) e um campo vetorial
, e pede para mostrar a identidade
Informações relevantes que temos:
é uma função suficientemente suave (diferenciável) e
é um campo vetorial cujas componentes também são diferenciáveis. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos fixar a notação e lembrar definições básicas que vamos usar. Escrevemos o vetor
por componentes (em coordenadas cartesianas) como
onde
são funções de
. A divergência de um campo vetorial
é definida por
O gradiente de um escalar
é o vetor
Também precisaremos da regra do produto para derivadas parciais: para duas funções diferenciáveis
e
,
e análogas para
e
. Essa é a versão multivariável da regra do produto que você já conhece de cálculo de uma variável.
Passo 3
Calculemos primeiro o produto escalar de
com
. O campo vetorial
tem componentes
Isso é simples: multiplicamos cada componente de
pela função escalar
.
Passo 4
Aplicamos a definição de divergência ao campo
:
Aqui estamos apenas substituindo
,
,
na fórmula da divergência.
Passo 5
Agora usamos a regra do produto para cada derivada parcial. Vamos desenvolver o primeiro termo; os outros são análogos:
De forma semelhante,
Passo 6
Somando os três resultados do passo anterior temos
Agrupei os termos para evidenciar duas coisas: (i) os termos com derivadas de
multiplicadas por as componentes de
e (ii) os termos com
multiplicando as derivadas das componentes de
.
Passo 7
Reconhecemos as expressões do passo anterior como produto escalar entre
e
, e como divergência de
. De fato,
e
Substituindo essas identidades na soma do passo anterior obtemos exatamente