Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}.
Informações dadas (assumidas): f é uma função escalar diferenciável de (x,y,z) e \vec{u} é um campo vetorial diferenciável com componentes u_x,u_y,u_z. Não há outras condições especiais no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar as definições que vamos usar, devagarinho e sem pular etapas.
A definição do gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\vec{\nabla} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Isto significa: o componente x do gradiente é \partial f/\partial x, e assim por diante.
A definição do rotacional (curl) de um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) em coordenadas cartesianas é
\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right).
Cada componente é uma diferença de derivadas parciais — lembre-se disso, é só aplicar a fórmula componente a componente.

Passo 3

Escrevemos o produto escalar f\vec{u} por componentes. Se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z), então
f\vec{u}=(f u_x,\; f u_y,\; f u_z).
Agora aplicaremos a fórmula do rotacional à esse vetor componente a componente.

Passo 4

Calculemos a primeira componente (componente x) de \vec{\nabla}\times(f\vec{u}) usando a definição do rotacional:
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x=\frac{\partial (f u_z)}{\partial y}-\frac{\partial (f u_y)}{\partial z}.
Aplicamos a regra do produto para derivadas parciais: \partial (f u_z)/\partial y=(\partial f/\partial y)u_z+f(\partial u_z/\partial y) e análogo para o outro termo. Assim
\begin{aligned} \big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x &=\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}u_z+f\frac{\partial u_z}{\partial y}\bigg) -\bigg(\frac{\partial f}{\partial z}u_y+f\frac{\partial u_y}{\partial z}\bigg)\\[4pt] &=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}u_z-\frac{\partial f}{\partial z}u_y}_{\text{parte 1}} +\underbrace{f\bigg(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\bigg)}_{\text{parte 2}}. \end{aligned}
A “parte 1” é exatamente a componente x de \vec{\nabla} f\times\vec{u} e a “parte 2” é f vezes a componente x de \vec{\nabla}\times\vec{u}.]

Passo 5

Agora a componente y. Pela definição,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_y=\frac{\partial (f u_x)}{\partial z}-\frac{\partial (f u_z)}{\partial x}.
Expandindo com a regra do produto:
\begin{aligned} \big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_y &=\bigg(\frac{\partial f}{\partial z}u_x+f\frac{\partial u_x}{\partial z}\bigg) -\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}u_z+f\frac{\partial u_z}{\partial x}\bigg)\\[4pt] &=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial z}u_x-\frac{\partial f}{\partial x}u_z}_{\text{parte 1}} +\underbrace{f\bigg(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\bigg)}_{\text{parte 2}}. \end{aligned}
De novo, a “parte 1” é a componente y de \vec{\nabla} f\times\vec{u} e a “parte 2” é f vezes a componente y de \vec{\nabla}\times\vec{u}.]

Passo 6

Componente z. Pela definição,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_z=\frac{\partial (f u_y)}{\partial x}-\frac{\partial (f u_x)}{\partial y}.
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} \big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_z &=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}u_y+f\frac{\partial u_y}{\partial x}\bigg) -\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}u_x+f\frac{\partial u_x}{\partial y}\bigg)\\[4pt] &=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}u_y-\frac{\partial f}{\partial y}u_x}_{\text{parte 1}} +\underbrace{f\bigg(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\bigg)}_{\text{parte 2}}. \end{aligned}
Novamente, “parte 1” é a componente z de \vec{\nabla} f\times\vec{u} e “parte 2” é f vezes a componente z de \vec{\nabla}\times\vec{u}.]

Passo 7

Juntando as três componentes x,y,z que calculamos nos Passos 4, 5 e 6, vemos que em cada componente aparece uma parcela do tipo (\vec{\nabla} f\times\vec{u})_i mais f vezes (\vec{\nabla}\times\vec{u})_i. Portanto, como vetores,
\vec{\nabla}\times(f\vec{u})=\vec{\nabla} f\times\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}.
Isso conclui a demonstração direta por componentes, usando apenas a definição do rotacional e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 8

Observação alternativa (mais compacta, só para conhecer): usando notação com o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e soma de índices, escreve-se
(\vec{\nabla}\times(f\vec{u}))_i=\epsilon_{ijk}\partial_j(f u_k) =\epsilon_{ijk}(\partial_j f)u_k+f\,\epsilon_{ijk}\partial_j u_k,
o que, em linguagem vetorial, é exatamente \vec{\nabla} f\times\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}. Essa forma é muito curta e elegante, mas a prova por componentes (que fizemos) é a mais direta para a prova.

Resposta

\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}

Exercícios relacionados