Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}.
Informações dadas (assumidas): f é uma função escalar diferenciável de (x,y,z) e \vec{u} é um campo vetorial diferenciável com componentes u_x,u_y,u_z. Não há outras condições especiais no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar as definições que vamos usar, devagarinho e sem pular etapas.
A definição do gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
Aplicamos a regra do produto para derivadas parciais: \partial (f u_z)/\partial y=(\partial f/\partial y)u_z+f(\partial u_z/\partial y) e análogo para o outro termo. Assim
Novamente, “parte 1” é a componente z de \vec{\nabla} f\times\vec{u} e “parte 2” é f vezes a componente z de \vec{\nabla}\times\vec{u}.]
Passo 7
Juntando as três componentes x,y,z que calculamos nos Passos 4, 5 e 6, vemos que em cada componente aparece uma parcela do tipo (\vec{\nabla} f\times\vec{u})_i mais f vezes (\vec{\nabla}\times\vec{u})_i. Portanto, como vetores,
o que, em linguagem vetorial, é exatamente \vec{\nabla} f\times\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}. Essa forma é muito curta e elegante, mas a prova por componentes (que fizemos) é a mais direta para a prova.
Resposta
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \times \vec{u}+f \vec{\nabla} \times \vec{u}