Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações dadas (explicitamente ou implícitas que vamos usar):
-
e são campos escalares diferenciáveis em um aberto de (ou, para concretude, em ); isto garante que as derivadas parciais existem e são contínuas. -
é o operador gradiente, que associa a cada campo escalar o vetor das suas derivadas parciais.
O objetivo é provar a identidade anterior, ou seja, mostrar que o gradiente do produto depor é igual à soma indicada.
Passo 2
Definição e notação: para concretude usemos
com coordenadas
. O gradiente de um campo escalar
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixos” (e análogamente para as outras componentes). Vamos provar a identidade compondo-a pelas três componentes.
Passo 3
Regra do produto para derivadas parciais — ideia e justificativa básica:
lembre a regra do produto para funções de uma variável: se e
são diferenciáveis, então
lembre a regra do produto para funções de uma variável: se
Para derivadas parciais, a mesma ideia vale se tratarmos uma variável (por exemplo
) como a variável de diferenciação e mantivermos as outras fixas. Ou seja, para pontos onde
são diferenciáveis,
Se quiser ver por limite (mais fundamentado): use a definição de derivada parcial como limite
Reescreva o numerador como
divida por
e passe ao limite; usando a continuidade de
e a existência das derivadas parciais de
e
obtém-se exatamente a fórmula acima.
Passo 4
Aplicando o mesmo raciocínio às três coordenadas, obtemos as três igualdades:
Cada uma dessas é a regra do produto aplicada à correspondente derivada parcial.
Passo 5
Juntando as componentes na forma vetorial do gradiente: pela definição de
,
Usando as igualdades do Passo 4,
Agrupando os termos com
e com
obtemos
Finalmente reconhecemos os vetores gradiente:
Passo 6
Prova alternativa (mais compacta) usando diferenciais — útil para entendimento conceitual:
defina o diferencial de um escalar: para um campo escalar
,
defina o diferencial
A regra do produto para diferenciais (diretamente derivada da regra do produto para derivadas) dá
Agora escreva
e
, onde
. Substituindo em
:
Como isso vale para qualquer
, os vetores que aparecem como coeficiente de
devem ser iguais, isto é,
Essa é uma forma elegante e rápida de ver a identidade.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir (confirmação):
tome e
. Então
tome
Calcule os gradientes:
Por outro lado
que coincide com
. Bom sinal!
Passo 8
Resumo final do raciocínio: a identidade é simplesmente a aplicação componente a componente da regra do produto para derivadas parciais, ou, de forma mais conceitual, decorre da regra do produto para diferenciais combinada com a relação
. Com isso, a igualdade está demonstrada.