Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla}(f g)=f \vec{\nabla} g+g \vec{\nabla} f

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla}(f g)=f \vec{\nabla} g+g \vec{\nabla} f.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas que vamos usar):
  • f e g são campos escalares diferenciáveis em um aberto de \mathbb{R}^n (ou, para concretude, em \mathbb{R}^3); isto garante que as derivadas parciais existem e são contínuas.
  • \vec{\nabla} é o operador gradiente, que associa a cada campo escalar o vetor das suas derivadas parciais.
    O objetivo é provar a identidade anterior, ou seja, mostrar que o gradiente do produto de f por g é igual à soma indicada.

Passo 2

Definição e notação: para concretude usemos \mathbb{R}^3 com coordenadas (x,y,z). O gradiente de um campo escalar h(x,y,z) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\vec{\nabla} h = \left( \frac{\partial h}{\partial x},\\ \frac{\partial h}{\partial y},\\ \frac{\partial h}{\partial z} \right).
Aqui \frac{\partial h}{\partial x} significa “derivar h em relação a x mantendo y,z fixos” (e análogamente para as outras componentes). Vamos provar a identidade compondo-a pelas três componentes.

Passo 3

Regra do produto para derivadas parciais — ideia e justificativa básica:
lembre a regra do produto para funções de uma variável: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u(t)\,v'(t)+v(t)\,u'(t).
Para derivadas parciais, a mesma ideia vale se tratarmos uma variável (por exemplo x) como a variável de diferenciação e mantivermos as outras fixas. Ou seja, para pontos onde f,g são diferenciáveis,
\frac{\partial}{\partial x}\big(f(x,y,z)\,g(x,y,z)\big) = f(x,y,z)\,\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)+g(x,y,z)\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z).
Se quiser ver por limite (mais fundamentado): use a definição de derivada parcial como limite
\frac{\partial}{\partial x}(fg)(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)g(x+h,y,z)-f(x,y,z)g(x,y,z)}{h}.
Reescreva o numerador como
f(x+h,y,z)\big(g(x+h,y,z)-g(x,y,z)\big)+g(x,y,z)\big(f(x+h,y,z)-f(x,y,z)\big),
divida por h e passe ao limite; usando a continuidade de f e a existência das derivadas parciais de f e g obtém-se exatamente a fórmula acima.

Passo 4

Aplicando o mesmo raciocínio às três coordenadas, obtemos as três igualdades:
\frac{\partial}{\partial x}(fg)=f\frac{\partial g}{\partial x}+g\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(fg)=f\frac{\partial g}{\partial y}+g\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(fg)=f\frac{\partial g}{\partial z}+g\frac{\partial f}{\partial z}.
Cada uma dessas é a regra do produto aplicada à correspondente derivada parcial.

Passo 5

Juntando as componentes na forma vetorial do gradiente: pela definição de \vec{\nabla},
\vec{\nabla}(fg) = \left(\frac{\partial}{\partial x}(fg),\\ \frac{\partial}{\partial y}(fg),\\ \frac{\partial}{\partial z}(fg)\right).
Usando as igualdades do Passo 4,
\vec{\nabla}(fg) = \left(f\frac{\partial g}{\partial x}+g\frac{\partial f}{\partial x},\\ f\frac{\partial g}{\partial y}+g\frac{\partial f}{\partial y},\\ f\frac{\partial g}{\partial z}+g\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Agrupando os termos com f e com g obtemos
\vec{\nabla}(fg)=f\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right) +g\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Finalmente reconhecemos os vetores gradiente:
\vec{\nabla}(fg)=f\,\vec{\nabla}g+g\,\vec{\nabla}f.

Passo 6

Prova alternativa (mais compacta) usando diferenciais — útil para entendimento conceitual:
defina o diferencial d de um escalar: para um campo escalar h,
dh=\frac{\partial h}{\partial x}\,dx+\frac{\partial h}{\partial y}\,dy+\frac{\partial h}{\partial z}\,dz.
A regra do produto para diferenciais (diretamente derivada da regra do produto para derivadas) dá
d(fg)=f\,dg+g\,df.
Agora escreva df=\vec{\nabla}f\cdot d\vec{r} e dg=\vec{\nabla}g\cdot d\vec{r}, onde d\vec{r}=(dx,dy,dz). Substituindo em d(fg):
\vec{\nabla}(fg)\cdot d\vec{r}=(f\vec{\nabla}g+g\vec{\nabla}f)\cdot d\vec{r}.
Como isso vale para qualquer d\vec{r}, os vetores que aparecem como coeficiente de d\vec{r} devem ser iguais, isto é,
\vec{\nabla}(fg)=f\vec{\nabla}g+g\vec{\nabla}f.
Essa é uma forma elegante e rápida de ver a identidade.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir (confirmação):
tome f(x,y)=x^2 e g(x,y)=y+1. Então
fg=x^2(y+1).
Calcule os gradientes:
\vec{\nabla}(fg)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^2(y+1)),\\ \frac{\partial}{\partial y}(x^2(y+1))\right) =\left(2x(y+1),\\ x^2\right).
Por outro lado
f\vec{\nabla}g+g\vec{\nabla}f = x^2\left(0,1\right)+(y+1)\left(2x,0\right) =\left(2x(y+1),\\ x^2\right),
que coincide com \vec{\nabla}(fg). Bom sinal!

Passo 8

Resumo final do raciocínio: a identidade é simplesmente a aplicação componente a componente da regra do produto para derivadas parciais, ou, de forma mais conceitual, decorre da regra do produto para diferenciais combinada com a relação dh=\vec{\nabla}h\cdot d\vec{r}. Com isso, a igualdade está demonstrada.

Resposta

\vec{\nabla}(f g)=f \vec{\nabla} g+g \vec{\nabla} f

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