Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{u})=0
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})=0.
Informações dadas (implícitas e necessárias para poder provar a identidade):
\vec{u} é um campo vetorial com componentes suficientemente suaves; mais precisamente, assumimos que as componentes de \vec{u} têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que as derivadas mistas sejam iguais).
Não há outras condições ocultas — a prova será feita por cálculo componente a componente usando a definição de rotacional e divergente.
Passo 2
Vamos fixar notação e lembrar as definições em componentes (isso é fundamental para fazer conta na prova da prova, sem mistério).
Definimos
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
onde u_1,u_2,u_3 são funções de (x,y,z). As definições que vamos usar são:
Observe a organização: aparecem pares de derivadas mistas do tipo \partial^2 u_k/(\partial x\partial y) e \partial^2 u_k/(\partial y\partial x).]
Passo 6
Usamos a hipótese de suavidade: como cada u_k tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale o teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas), ou seja
Comentário didático e intuição curta (útil para lembrar na prova): intuitivamente, o rotacional mede a tendência do campo de girar (vorticidade local) e a divergência mede a tendência de “sair” ou “entrar” fluxo (fontes/afluentes). Um giro puro não cria nem destrói fluxo — não é uma fonte — por isso a divergência do rotacional é nula. Mas para garantir isso formalmente precisamos da regularidade (derivadas segundas contínuas) para usar a igualdade das derivadas mistas.