Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{u})=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})=0.
Informações dadas (implícitas e necessárias para poder provar a identidade):
  • \vec{u} é um campo vetorial com componentes suficientemente suaves; mais precisamente, assumimos que as componentes de \vec{u} têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que as derivadas mistas sejam iguais).
  • Não há outras condições ocultas — a prova será feita por cálculo componente a componente usando a definição de rotacional e divergente.

Passo 2

Vamos fixar notação e lembrar as definições em componentes (isso é fundamental para fazer conta na prova da prova, sem mistério).
Definimos
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
onde u_1,u_2,u_3 são funções de (x,y,z). As definições que vamos usar são:
Definição do rotacional (curl):
\vec{\nabla}\times\vec{u}=\Bigg(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z},\; \frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x},\; \frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Bigg).
Aqui cada componente é uma combinação de derivadas parciais de primeira ordem das componentes de \vec{u}.
Definição da divergência (div):
\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}
para um campo vetorial \vec{v}=(v_1,v_2,v_3).
Nosso objetivo é aplicar a definição de divergência ao vetor \vec{\nabla}\times\vec{u}.

Passo 3

Calculemos explicitamente \vec{\nabla}\times\vec{u} (repetindo a fórmula para ter a expressão à mão):
\vec{\nabla}\times\vec{u}=\bigg( \underbrace{\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}}_{(\vec{\nabla}\times\vec{u})_1},\; \underbrace{\frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x}}_{(\vec{\nabla}\times\vec{u})_2},\; \underbrace{\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}}_{(\vec{\nabla}\times\vec{u})_3} \bigg).

Passo 4

Agora aplicamos a definição da divergência ao vetor acima:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u}) =\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\bigg) +\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x}\bigg) +\frac{\partial}{\partial z}\bigg(\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\bigg).

Passo 5

Expandindo as derivadas (distribuindo \partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z) obtemos seis termos de segunda ordem:
\begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u}) &=\frac{\partial^2 u_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 u_2}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 u_1}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 u_3}{\partial y\partial x}\\[4pt] &\qquad+\frac{\partial^2 u_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 u_1}{\partial z\partial y}. \end{aligned}
Observe a organização: aparecem pares de derivadas mistas do tipo \partial^2 u_k/(\partial x\partial y) e \partial^2 u_k/(\partial y\partial x).]

Passo 6

Usamos a hipótese de suavidade: como cada u_k tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale o teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas), ou seja
\frac{\partial^2 u_k}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 u_k}{\partial y\partial x},
e análogos para outros pares de variáveis. Aplicando isso aos termos do passo anterior vemos que os termos se cancelam em pares:
  • \displaystyle \frac{\partial^2 u_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 u_3}{\partial y\partial x}=0.
  • \displaystyle -\frac{\partial^2 u_2}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial z\partial x}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial^2 u_1}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 u_1}{\partial z\partial y}=0.
Somando esses zeros obtemos
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})=0.

Passo 7

Comentário didático e intuição curta (útil para lembrar na prova): intuitivamente, o rotacional mede a tendência do campo de girar (vorticidade local) e a divergência mede a tendência de “sair” ou “entrar” fluxo (fontes/afluentes). Um giro puro não cria nem destrói fluxo — não é uma fonte — por isso a divergência do rotacional é nula. Mas para garantir isso formalmente precisamos da regularidade (derivadas segundas contínuas) para usar a igualdade das derivadas mistas.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})=0

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