O sistema de abastecimento de uma cidade de 100.000 habitantes é feito por gravidade, a partir de um reservatório central elevado. Em média, cada habitante consome 200 litros/dia. As perdas do sistema e dos consumidores devido a vazamentos de todos os tipos são estimadas em 20% do consumo total. Existe um sistema de bombeamento que faz o recalque da água da estação de tratamento até o reservatório central. A bomba oferece um ganho de pressão de 900 kPa para a instalação. O sistema de bombeamento deve operar durante 20 horas/dia. Calcule:
a) a vazão do sistema \left[\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right];
b) a potência útil fornecida pelo sistema de bombeamento [kW];
c) a potência elétrica exigida pelo sistema motriz de acionamento, sabendo que o rendimento da bomba é de 82 \% e o do motor é de 89 \%[\mathrm{~kW}];
d) o consumo mensal de energia elétrica [kWh];
e) o custo mensal com energia, sabendo-se que a tarifa é de \mathrm{R} \ 500,00 / \mathrm{MWh}[\mathrm{R} $/ \mathrm{mês}]$.

Passo 1

Enunciado resumido — o que foi dado e o que pedem:
  • População: \;100{.}000 habitantes.
  • Consumo médio por habitante: \;200\\ \mathrm{L/dia}.
  • Perdas por vazamentos: \;20\% do consumo total.
  • Bombeamento com ganho de pressão: \;900\\ \mathrm{kPa}.
  • Tempo de operação da bomba: \;20\\ \mathrm{h/dia}.
  • Rendimento da bomba: \;\eta_{\text{bomba}}=82\%.
  • Rendimento do motor: \;\eta_{\text{motor}}=89\%.
  • Tarifa de energia: \;\mathrm{R}\$\,500,00/\mathrm{MWh}.
O que pedem:
a) vazão do sistema em \mathrm{m^3/h};
b) potência útil fornecida pela bomba em \mathrm{kW};
c) potência elétrica exigida pelo conjunto motor+bomba em \mathrm{kW};
d) consumo mensal de energia elétrica em \mathrm{kWh};
e) custo mensal com energia em \mathrm{R}\$/\mathrm{mês}ê.

Passo 2

Calcular o consumo total diário sem perdas (volume usado pelos habitantes):
cada habitante consome \;200\\ \mathrm{L/dia}. Como \;1000\\ \mathrm{L}=1\\ \mathrm{m^3}, primeiro faço em litros e depois converto:
\text{Consumo diário} = 100{.}000\times 200\\ \mathrm{L/dia} = 20{.}000{.}000\\ \mathrm{L/dia}.á
Convertendo para metros cúbicos:
20{.}000{.}000\\ \mathrm{L/dia} = 20{.}000\\ \mathrm{m^3/dia}.
(Explicação rápida: multiplicar população × consumo individual dá volume total; dividir litros por 1000 dá metros cúbicos.)

Passo 3

Incluir as perdas de \;20\%: as perdas são \;20\% do consumo listado, então o volume que precisa ser bombeado é o consumo mais essas perdas:
\text{Volume bombeado diário} = 20{.}000\\ \mathrm{m^3/dia}\times(1+0,20)=20{.}000\times1,2=24{.}000\\ \mathrm{m^3/dia}.á
(Interpretação: temos que repor o consumo e as perdas, logo multiplicamos por 1{,}2.)

Passo 4

Calcular a vazão média durante as horas de operação da bomba (pedido a): bomba opera \;20\\ \mathrm{h/dia}, então
\text{Vazão} = \frac{24{.}000\\ \mathrm{m^3/dia}}{20\\ \mathrm{h/dia}} = 1{.}200\\ \mathrm{m^3/h}.ã
Isso responde o item (a). (Dica prática: em prova deixe sempre as unidades claras — aqui \mathrm{m^3/dia} dividido por \mathrm{h/dia} \mathrm{m^3/h}.)

Passo 5

Calcular a potência hidráulica útil fornecida pela bomba (pedido b).
Princípio usado: potência hidráulica é pressão vezes vazão volumétrica, ou seja
P_{\text{útil}}=\Delta p\cdot Q,ú
onde \Delta p é a diferença de pressão (em \mathrm{Pa}) e Q é a vazão (em \mathrm{m^3/s}). Unidade: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^3/s} = \mathrm{N/m^2}\cdot\mathrm{m^3/s} = \mathrm{N\cdot m/s} = \mathrm{W}.
Converter dados: \Delta p = 900\\ \mathrm{kPa}=900{.}000\\ \mathrm{Pa}. A vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{1{.}200\\ \mathrm{m^3/h}}{3{.}600\\ \mathrm{s/h}}=\frac{1{.}200}{3{.}600}=0{,}333\overline{3}\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora aplico a fórmula:
P_{\text{útil}}=900{.}000\\ \mathrm{Pa}\times0{,}333\overline{3}\\ \mathrm{m^3/s}=300{.}000\\ \mathrm{W}=300\\ \mathrm{kW}.ú
Portanto a potência útil fornecida pela bomba é \;300\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Calcular a potência elétrica exigida pelo sistema motriz (pedido c).
Explicação de eficiência: a bomba e o motor têm perdas; se a potência útil é P_{\text{útil}}ú e a eficiência total do conjunto é \eta_{\text{total}}=\eta_{\text{bomba}}\times\eta_{\text{motor}}, então a potência elétrica fornecida ao motor deve satisfazer
P_{\text{el}}=\frac{P_{\text{útil}}}{\eta_{\text{total}}}.ú
Calculo das eficiências (em decimal):
\eta_{\text{bomba}}=0{,}82,\qquad \eta_{\text{motor}}=0{,}89,
\eta_{\text{total}}=0{,}82\times0{,}89=0{,}7298.
Logo
P_{\text{el}}=\frac{300\\ \mathrm{kW}}{0{,}7298}\approx 411{,}07\\ \mathrm{kW}.
(Interpretação: precisamos entregar cerca de \;411{,}07\\ \mathrm{kW} ao motor para ter 300\\ \mathrm{kW} úteis depois das perdas do motor e da bomba.)

Passo 7

Calcular o consumo mensal de energia elétrica (pedido d).
Assumo um mês de 30 dias (se a prova pedir outra convenção ajuste-se). Horas de operação por mês:
\text{Horas/mês}=20\\ \mathrm{h/dia}\times30\\ \mathrm{dias}=600\\ \mathrm{h/mês}.êê
Energia mensal:
E_{\text{mês}}=P_{\text{el}}\times\text{Horas/mês}=411{,}071563\\ \mathrm{kW}\times600\\ \mathrm{h}\approx246{.}642{,}94\\ \mathrm{kWh}.êê
(Arredondei a potência elétrica para os dígitos usados; resultado arredondado a dois decimais.)

Passo 8

Calcular o custo mensal com energia (pedido e).
A tarifa é \mathrm{R}\$\,500{,}00/\mathrm{MWh}. Notar que 1\\ \mathrm{MWh}=1{.}000\\ \mathrm{kWh}, então a tarifa em \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh} é
\text{tarifa}=\frac{500\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{MWh}}{1{.}000\\ \mathrm{kWh/MWh}}=0{,}5\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh}.
Custo mensal:
\text{Custo} = E_{\text{mês}}\times 0{,}5\\ \mathrm{R}\!\(/\mathrm{kWh} \approx 246{.}642{,}94\\ \mathrm{kWh}\times0{,}5 =123{.}321{,}47\\ \mathrm{R}\\)/\mathrm{mês}.
(Outra forma: em MWh, E_{\text{mês}}=246{,}642{,}94/1{.}000\approx246{,}643\\ \mathrm{MWh}ê e 246{,}643\times500\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{MWh}=123{.}321{,}5\\ \mathrm{R}\$.)

Resposta

a) 1{.}200\\ \mathrm{m^3/h}
b) 300\\ \mathrm{kW}
c) 411{,}07\\ \mathrm{kW}
d) 246{.}642{,}94\\ \mathrm{kWh}
e) \mathrm{R}\$\,123{.}321{,}47\\ \text{por mês}ê

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