Mostre as seguintes identidades trigonométricas:
\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
\sin\Bigl(x + \frac{\pi}{2}\Bigr) = \cos x.
O que vamos usar é a fórmula de adição para o seno e os valores exatos de seno e cosseno em ângulos notáveis.

Passo 2

A fórmula de adição para o seno é
\sin(a + b) = \sin a \,\cos b \;+\;\cos a \,\sin b.

Passo 3

Aplicando essa fórmula com a = x e b = \tfrac{\pi}{2}, obtemos
\sin\Bigl(x + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \sin x \,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) + \cos x \,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr).

Passo 4

Sabemos que
\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = 0 \quad\text{e}\quad \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = 1.
Então
\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

Resposta

\displaystyle \sin\Bigl(x + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \cos x.

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