Resolva as seguintes equações trigonométricas no intervalo [0,2 \pi] :
\sin \left(x-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
\sin\Bigl(x-\frac{\pi}{5}\Bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}
no intervalo [0,2\pi]. Vamos usar a técnica de definir
u = x - \frac{\pi}{5}
e em seguida resolver \sin u = \tfrac{\sqrt{2}}{2}, depois voltar a x e impor a condição 0 \le x \le 2\pi.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação em u:
\sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}.
As soluções gerais para \sin u = \tfrac{\sqrt{2}}{2} são
u = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad u = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Voltando à variável x, temos u = x - \frac{\pi}{5}, logo
x = u + \frac{\pi}{5}.
Substituindo cada família de soluções:
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + 2k\pi \;=\;\frac{5\pi+4\pi}{20}+2k\pi \;=\;\frac{9\pi}{20}+2k\pi,
x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + 2k\pi \;=\;\frac{15\pi+4\pi}{20}+2k\pi \;=\;\frac{19\pi}{20}+2k\pi.

Passo 4

Agora impomos 0 \le x \le 2\pi.
Para k=0 obtemos \displaystyle x=\frac{9\pi}{20} e \displaystyle x=\frac{19\pi}{20},
que estão em [0,2\pi].
Para k=1 ambas as soluções excedem 2\pi, e para k=-1 ficam negativas.
Assim somente k=0 gera soluções válidas.

Resposta

x = \frac{9\pi}{20},\quad x = \frac{19\pi}{20}.

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