Mostre as seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
.
Informações relevantes dadas (definições que aparecem na igualdade):
Informações relevantes dadas (definições que aparecem na igualdade):
- A função
é a cotangente de . - A função
é a cossecante de , isto é .
O objetivo é calcular a derivada dee escrever o resultado na forma .
Passo 2
Lembrar derivadas básicas que serão usadas (valores padrão que já pode-se considerar conhecidos):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Explicação curta: essas derivadas vêm do limite da definição da derivada aplicado às funções trigonométricas; aqui vamos usá‑las diretamente para simplificar a conta.
Passo 3
Expressar
de forma conveniente para derivar. Usa‑se a identidade
Também recordar a regra do quociente: se
com
, então
Aqui
e
são funções qualquer; no nosso caso teremos
e
.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente com
e
.
Primeiro calcule as derivadas de e
:
Primeiro calcule as derivadas de
Agora a derivada de
é
Passo 5
Simplificar o numerador:
Usar a identidade trigonométrica fundamental
. Assim o numerador fica
e
Passo 6
Reconhecendo
, temos
Portanto chegamos à igualdade pedida: