Mostre as seguintes igualdades:
\operatorname{cotg}^{\prime}(x)=-\operatorname{cossec}^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\operatorname{cotg}^{\prime}(x)=-\operatorname{cossec}^{2}(x).
Informações relevantes dadas (definições que aparecem na igualdade):
  • A função \operatorname{cotg}(x) é a cotangente de x.
  • A função \operatorname{cossec}(x) é a cossecante de x, isto é \operatorname{cossec}(x)=\dfrac{1}{\sin x}.
    O objetivo é calcular a derivada de \operatorname{cotg}(x) e escrever o resultado na forma -\operatorname{cossec}^{2}(x).

Passo 2

Lembrar derivadas básicas que serão usadas (valores padrão que já pode-se considerar conhecidos):
  • A derivada de \sin x é \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • A derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    Explicação curta: essas derivadas vêm do limite da definição da derivada aplicado às funções trigonométricas; aqui vamos usá‑las diretamente para simplificar a conta.

Passo 3

Expressar \operatorname{cotg}(x) de forma conveniente para derivar. Usa‑se a identidade
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos x}{\sin x}.
Também recordar a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são funções qualquer; no nosso caso teremos u(x)=\cos x e v(x)=\sin x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente com u(x)=\cos x e v(x)=\sin x.
Primeiro calcule as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Agora a derivada de \operatorname{cotg}(x) é
\operatorname{cotg}^{\prime}(x) =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{\sin^{2}x}.

Passo 5

Simplificar o numerador:
(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x)=-\sin^{2}x-\cos^{2}x.
Usar a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Assim o numerador fica -1 e
\operatorname{cotg}^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sin^{2}x}=-\frac{1}{\sin^{2}x}.

Passo 6

Reconhecendo \dfrac{1}{\sin x}=\operatorname{cossec}(x), temos
-\frac{1}{\sin^{2}x}= -\bigg(\frac{1}{\sin x}\bigg)^{2}=-\operatorname{cossec}^{2}(x).
Portanto chegamos à igualdade pedida:
\operatorname{cotg}^{\prime}(x)=-\operatorname{cossec}^{2}(x).

Resposta

\operatorname{cotg}^{\prime}(x)=-\operatorname{cossec}^{2}(x)

Exercícios relacionados