Mostre as seguintes leis do cancelamento da adição de vetores:
x+u=y+u Rightarrow x=y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a lei de cancelamento na adição de vetores, ou seja, em um espaço vetorial (ou, de modo mais geral, em um grupo abeliano), provar que
x + u = y + u Longrightarrow x = y
Para isso vamos usar os axiomas de grupo abeliano: existência de elemento neutro 0, existência de inverso aditivo e associatividade da soma.

Passo 2

Pelo axioma de existência de inverso, ao vetor u corresponde um vetor inverso -u tal que
u + l(-ur) = 0
Também sabemos que 0 é elemento neutro: para todo vetor v, v + 0 = v.

Passo 3

Partindo da igualdade dada, somamos -u em ambos os lados e usamos associatividade:
(x + u) + l(-ur) = (y + u) + l(-ur)
Pela associatividade,
x + l(u + (-u)r) = y + l(u + (-u)r)

Passo 4

Como u + (-u) = 0, a igualdade anterior vira
x + 0 = y + 0
E pelo fato de 0 ser neutro, obtemos
x = y

Resposta

Demonstra-se a lei de cancelamento simplesmente somando o inverso de u aos dois lados e usando associatividade, inverso aditivo e elemento neutro. Portanto, se x+u=y+u então x=y.

Exercícios relacionados