Mostre as seguintes leis do cancelamento da adição de vetores:
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar a lei de cancelamento na adição de vetores, ou seja, em um espaço vetorial (ou, de modo mais geral, em um grupo abeliano), provar que
Para isso vamos usar os axiomas de grupo abeliano: existência de elemento neutro
, existência de inverso aditivo e associatividade da soma.
Passo 2
Pelo axioma de existência de inverso, ao vetor
corresponde um vetor inverso
tal que
Também sabemos que
é elemento neutro: para todo vetor
,
.
Passo 3
Partindo da igualdade dada, somamos
em ambos os lados e usamos associatividade:
Pela associatividade,
Passo 4
Como
, a igualdade anterior vira
E pelo fato de
ser neutro, obtemos
Resposta
Demonstra-se a lei de cancelamento simplesmente somando o inverso de
aos dois lados e usando associatividade, inverso aditivo e elemento neutro. Portanto, se
então
.