Mostre que os seguintes limites não existem
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x-y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y}{2x+y}
não existe. O conteúdo envolvido é limites de funções de duas variáveis e vamos usar o critério de dependência de trajetória.

Passo 2

Se o limite existisse, ele teria o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0). Portanto, basta encontrar duas trajetórias de aproximação que produzam resultados diferentes.

Passo 3

Considere a reta
\displaystyle y = m x.
Substituindo em \displaystyle \frac{x - y}{2x + y} obtemos
\frac{x - m x}{2x + m x} = \frac{1 - m}{2 + m}.
Esse valor independe de x, logo ao fazermos x\to0 (e portanto (x,y)\to(0,0) pela reta y=mx) o limite é
\displaystyle \frac{1 - m}{2 + m}.

Passo 4

Escolhendo diferentes m vemos que o resultado varia. Por exemplo:
para m=0 (reta y=0) o limite vale
\displaystyle \frac{1}{2},
enquanto para m=-1 (reta y=-x) o limite vale
\displaystyle \frac{1-(-1)}{2+(-1)} = 2.
Como \tfrac12 \neq 2, o valor do limite depende da trajetória.

Resposta

O limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y}{2x+y}
não existe.

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