Mostre que os seguintes limites não existem
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que
não existe. O conteúdo envolvido é limites de funções de duas variáveis e vamos usar o critério de dependência de trajetória.
não existe. O conteúdo envolvido é limites de funções de duas variáveis e vamos usar o critério de dependência de trajetória.
Passo 2
Se o limite existisse, ele teria o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve
a
. Portanto, basta encontrar duas trajetórias de aproximação que produzam resultados diferentes.
Passo 3
Considere a reta
.
Substituindo em obtemos
Substituindo em
Esse valor independe de
, logo ao fazermos
(e portanto
pela reta
) o limite é
.
Passo 4
Escolhendo diferentes
vemos que o resultado varia. Por exemplo:
para (reta
) o limite vale
,
enquanto para (reta
) o limite vale
Como , o valor do limite depende da trajetória.
para
enquanto para
Como
Resposta
O limite
não existe.
não existe.