Mostre que os seguintes limites não existem
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de
quando
não existe. Para que o limite em duas variáveis exista, o valor de
ao aproximar-se de
deve ser o mesmo para qualquer trajetória de aproximação.
Passo 2
Considere o caminho
. Nesse caso
Para
,
e
. Para
,
e
. Logo, aproximando
pela direita obtemos
e pela esquerda obtemos
, valores distintos.
Passo 3
Em coordenadas polares
,
, temos
Ao enviar
, esse valor fica
, que depende de
e varia entre
e
.
Passo 4
Como ao escolher diferentes caminhos (ou diferentes
) obtém-se valores distintos, não há um único valor limite.
Resposta
O limite não existe.