Mostre que os seguintes limites não existem
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de
f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}
quando (x,y)\to(0,0) não existe. Para que o limite em duas variáveis exista, o valor de f(x,y) ao aproximar-se de (0,0) deve ser o mesmo para qualquer trajetória de aproximação.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Nesse caso
f(x,0)=\frac{2x}{\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{|x|}.
Para x>0, |x|=x e f(x,0)=2. Para x<0, |x|=-x e f(x,0)=-2. Logo, aproximando x\to0 pela direita obtemos 2 e pela esquerda obtemos -2, valores distintos.

Passo 3

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
f(r,\theta)=\frac{2\,r\cos\theta}{\sqrt{r^2}}=2\cos\theta.
Ao enviar r\to0, esse valor fica 2\cos\theta, que depende de \theta e varia entre -2 e 2.

Passo 4

Como ao escolher diferentes caminhos (ou diferentes \theta) obtém-se valores distintos, não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados