Mostre que os seguintes limites não existem
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
não existe. Esse é um limite de função de duas variáveis, e para provar que não existe basta encontrar duas trajetórias de aproximação ao ponto (0,0) que produzam valores diferentes.

Passo 2

Aproximando pela reta y = x, substituímos na expressão:
\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} = \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac12.
Logo, ao longo de y=x o limite vale \tfrac12.

Passo 3

Aproximando pela reta y = -x, substituímos na expressão:
\frac{x\cdot(-x)}{x^{2}+(-x)^{2}} = \frac{-x^{2}}{2x^{2}} = -\frac12.
Assim, ao longo de y=-x o limite vale -\tfrac12.

Passo 4

Como os valores obtidos ( \tfrac12 e -\tfrac12) são diferentes, o limite depende da trajetória de aproximação. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} não existe.

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