Mostre que os seguintes limites não existem
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{\sqrt{x y}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o limite de duas variáveis\r
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy}}{\,x+y\,}.\r
Para que \sqrt{xy} seja real precisamos de xy\ge0, e no denominador não podemos ter x+y=0. Vamos, portanto, examinar caminhos em que x>0, y>0 e x+y\neq0.

Passo 2

Uma maneira clássica de mostrar que um limite de duas variáveis não existe é escolher retas do tipo y=kx (com k>0) e ver que o valor do limite depende de k.

Passo 3

Substituindo y=kx em \frac{\sqrt{xy}}{x+y}, temos para x>0:\r
\frac{\sqrt{x\,(kx)}}{\,x+kx\,} =\frac{\sqrt{kx^2}}{\,x(1+k)\,} =\frac{\sqrt{k}\,x}{x(1+k)} =\frac{\sqrt{k}}{1+k}.

Passo 4

O valor \frac{\sqrt{k}}{1+k} varia quando escolhemos k diferente. Por exemplo:\r
k=1\implies \frac{\sqrt{1}}{1+1}=\frac{1}{2}, \quad k=4\implies \frac{\sqrt{4}}{1+4}=\frac{2}{5}.\r
Como obtivemos dois resultados distintos, o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy}}{x+y} não existe.

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