Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Laplaciano:
nabla^2=1r^2 partialpartial r(r^2 partialpartial r)+1r^2 sen theta partialpartial theta(sen theta partialpartial theta)+1r^2 sen^2 theta partial^2partial varphi^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao passar para coordenadas esféricas (r,theta,varphi), o operador Laplaciano
nabla^2 assume a forma pedida.
O conteúdo envolvido é o cálculo em coordenadas curvilíneas ortogonais: precisamos conhecer os fatores de escala (ou coeficientes métricos) e usar a expressão geral do Laplaciano em tais coordenadas.

Passo 2

Definimos a transformação de coordenadas cartesianas (x,y,z) para esféricas (r,theta,varphi):
x = r,sinthetacosvarphi, y = r,sinthetasinvarphi, z = r,costheta
Dessa forma identificamos os fatores de escala
hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta,
pois dr^2=dr^2+(r,dtheta)^2+(rsintheta,dvarphi)^2.

Passo 3

Em coordenadas curvilíneas ortogonais (q1,q2,q3) com fatores de escala h1,h2,h3, o Laplaciano de uma função escalar f é
nabla^2f =1h1h2h3 sumi=1^3 partialpartial qi l(h1h2h3hi^2 partial fpartial qir)
Aqui q1=r, q2=theta, q3=varphi.

Passo 4

Substituindo hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta na fórmula geral e simplificando cada termo, obtemos
nabla^2 =1r^2sintheta partialpartial r l(r^2sintheta, partialpartial rr) +1r^2sintheta partialpartial theta l(sintheta, partialpartial thetar) +1r^2sin^2theta partial^2partial varphi^2,
que reorganizado dá exatamente a forma pedida.

Resposta

nabla^2 =1r^2partialpartial r!l(r^2partialpartial rr) +1r^2,senthetapartialpartial theta!l(sentheta,partialpartial thetar) +1r^2,sen^2thetapartial^2partial varphi^2

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