Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Laplaciano:
Laplaciano:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao passar para coordenadas esféricas
, o operador Laplaciano
assume a forma pedida.
O conteúdo envolvido é o cálculo em coordenadas curvilíneas ortogonais: precisamos conhecer os fatores de escala (ou coeficientes métricos) e usar a expressão geral do Laplaciano em tais coordenadas.
O conteúdo envolvido é o cálculo em coordenadas curvilíneas ortogonais: precisamos conhecer os fatores de escala (ou coeficientes métricos) e usar a expressão geral do Laplaciano em tais coordenadas.
Passo 2
Definimos a transformação de coordenadas cartesianas
para esféricas
:
Dessa forma identificamos os fatores de escala
pois
.
Passo 3
Em coordenadas curvilíneas ortogonais
com fatores de escala
, o Laplaciano de uma função escalar
é
Aqui
,
,
.
Passo 4
Substituindo
,
,
na fórmula geral e simplificando cada termo, obtemos
que reorganizado dá exatamente a forma pedida.