Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Rotacional:
Passo 1
O enunciado pede para derivarmos a expressão do rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas . O conteúdo envolve operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas ortogonais, em especial a fórmula geral do rotacional por meio dos fatores de escala.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as variáveis ,
os vetores unitários e os fatores de escala
Passo 3
Em qualquer sistema ortogonal o rotacional de é dado por
Aqui V1=Vr, V2=Vtheta, V3=Vvarphi.
Passo 4
Substituindo hr,htheta,hvarphi na fórmula determinantal e desenvolvendo pelos componentes, obtemos as três componentes do rotacional: