Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Rotacional:
nabla times V= & (1r partial Vvarphipartial theta-1r sen theta partial Vthetapartial varphi+1r cos thetasen theta Vvarphi) er & +(1r sen theta partial Vrpartial varphi-partial Vvarphipartial r-1r Vvarphi) etheta+(partial Vthetapartial r-1r partial Vrpartial theta+1r Vtheta) evarphi

Passo 1

O enunciado pede para derivarmos a expressão do rotacional de um campo vetorial V=Vr, er+Vtheta, etheta+Vvarphi, evarphi em coordenadas esféricas (r,theta,varphi). O conteúdo envolve operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas ortogonais, em especial a fórmula geral do rotacional por meio dos fatores de escala.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as variáveis
;u1=r,;u2=theta,;u3=varphi,
os vetores unitários er, etheta, evarphi e os fatores de escala
hr=1, htheta=r, hvarphi=r,sentheta

Passo 3

Em qualquer sistema ortogonal (u1,u2,u3) o rotacional de V é dado por
nablatimesvec V =1h1h2h3 h1, e1 & h2, e2 & h3, e3 partialu1 & partialu2 & partialu3 h1V1 & h2V2 & h3V3
Aqui V1=Vr, V2=Vtheta, V3=Vvarphi.

Passo 4

Substituindo hr,htheta,hvarphi na fórmula determinantal e desenvolvendo pelos componentes, obtemos as três componentes do rotacional:
Componente radial ( er), com j=theta, k=varphi:
(nablatimesvec V)r =1hthetahvarphi l[ partialtheta(hvarphiVvarphi) -partialvarphi(hthetaVtheta) r] =1r,rsentheta l[ partialthetal(rsentheta,Vvarphir) -partialvarphil(r,Vthetar) r]
Derivando e simplificando:
(nablatimesvec V)r =1rpartial Vvarphipartial theta -1r,senthetapartial Vthetapartial varphi +1rcosthetasentheta,Vvarphi

Passo 5

Componente theta ( etheta), com j=varphi, k=r:
(nablatimesvec V)theta =1hvarphihr l[ partialvarphi(hrVr) -partialr(hvarphiVvarphi) r] =1rsentheta l[ partialvarphi(Vr) -partialrl(rsentheta,Vvarphir) r]
Derivando e simplificando:
(nablatimesvec V)theta =1r,senthetapartial Vrpartial varphi -partial Vvarphipartial r -1r,Vvarphi

Passo 6

Componente varphi ( evarphi), com j=r, k=theta:
(nablatimesvec V)varphi =1hrhtheta l[ partialr(hthetaVtheta) -partialtheta(hrVr) r] =1r l[ partialr(r,Vtheta) -partialtheta(Vr) r]
Derivando e simplificando:
(nablatimesvec V)varphi =partial Vthetapartial r -1rpartial Vrpartial theta +1r,Vtheta

Resposta

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