Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que
não existe.
Mostre que
Passo 1
Então, galera! A gente vai resolver um problema sobre divisibilidade, especificamente vamos mostrar que o máximo divisor comum de 0 e 0 (escrito como
) não existe. Para isso, precisamos entender o que é o máximo divisor comum e como ele se aplica quando ambos os números são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (mdc). O mdc de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide os dois sem sobra.
Matematicamente, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa dividir zero. Qualquer número diferente de zero divide zero, porque:
Para algum inteiro
. Isso é sempre verdadeiro para qualquer
, já que podemos escolher
.
Porém, zero não pode dividir nenhum número, incluindo ele mesmo, pois:
Isso só seria possível se
. Mas no caso de
, estamos tentando encontrar o maior divisor comum de dois zeros.
Passo 4
Vamos pensar: o que são os divisores comuns de 0 e 0? São todos os números inteiros diferentes de zero, já que qualquer número divide zero. Ou seja:
Agora, queremos encontrar o máximo desses divisores. Mas a gente sabe que não existe um maior número natural, já que sempre podemos escolher um número maior. Portanto, não há um “maior divisor comum” nesse caso.
Passo 5
Como não existe um maior divisor que satisfaça as condições para ser o mdc de 0 e 0, concluímos que: