Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que mdc(0,0) não existe.

Passo 1

Então, galera! A gente vai resolver um problema sobre divisibilidade, especificamente vamos mostrar que o máximo divisor comum de 0 e 0 (escrito como mdc(0,0)) não existe. Para isso, precisamos entender o que é o máximo divisor comum e como ele se aplica quando ambos os números são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (mdc). O mdc de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide os dois sem sobra.
Matematicamente, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa dividir zero. Qualquer número diferente de zero divide zero, porque:
Para algum inteiro . Isso é sempre verdadeiro para qualquer , já que podemos escolher .
Porém, zero não pode dividir nenhum número, incluindo ele mesmo, pois:
Isso só seria possível se . Mas no caso de , estamos tentando encontrar o maior divisor comum de dois zeros.

Passo 4

Vamos pensar: o que são os divisores comuns de 0 e 0? São todos os números inteiros diferentes de zero, já que qualquer número divide zero. Ou seja:
Agora, queremos encontrar o máximo desses divisores. Mas a gente sabe que não existe um maior número natural, já que sempre podemos escolher um número maior. Portanto, não há um “maior divisor comum” nesse caso.

Passo 5

Como não existe um maior divisor que satisfaça as condições para ser o mdc de 0 e 0, concluímos que:

Resposta

mdc(0,0) não existe.

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