Mostre as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Problema 3.13. (a) Se
e
, então
e
.
(b) Se
ou
e
, então
.
(c) Conclua que
é um divisor comum de
e de
se e somente se
é um divisor comum de
e de
.
Problema 3.13. (a) Se
(b) Se
(c) Conclua que
Passo 1
Vamos resolver o Problema 3.13 sobre propriedades da divisibilidade. A questão está dividida em três partes: (a), (b) e (c). Para isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro (divisibilidade) e como somas e subtrações de múltiplos se comportam. Vamos começar com a parte (a).
Passo 2
Parte (a): Se
e
, então
e
.
Primeiro,
significa que existe um inteiro
tal que
. Da mesma forma,
significa que existe um inteiro
tal que
.
Passo 3
Agora, somando
e
:
Como
é um inteiro, isso mostra que
divide
, ou seja,
.
Passo 4
Subtraindo
de
:
Novamente,
é um inteiro, então
divide
, ou seja,
.
Passo 5
Parte (b): Se
ou
e
, então
.
Vamos considerar os dois casos separados.
Passo 6
Primeiro, suponha que
e
.
Sabemos que:
Subtraindo
de
:
Portanto,
.
Passo 7
Segundo, suponha que
e
.
Sabemos que:
Somando
a
:
Logo,
.
Passo 8
Parte (c): Conclua que
é um divisor comum de
e de
se e somente se
é um divisor comum de
e de
.
Primeiro, se
divide tanto
quanto
, então, pela parte (a),
divide
. Portanto,
é um divisor comum de
e de
.
Conversamente, se
divide
e
, então, somando
a
, temos que
, conforme a parte (b). Assim,
também é um divisor comum de
e de
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
- Na parte (a), se
divide e , então divide e . - Na parte (b), se
divide ou e divide , então divide . - Na parte (c), concluímos que
é um divisor comum de e se e somente se é um divisor comum de e .