Mostre as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Problema 3.13. (a) Se d mid a e d mid b, então d mid(b+a) e d mid(b-a).
(b) Se d mid(b+a) ou d mid(b-a) e d mid a, então d mid b.
(c) Conclua que d é um divisor comum de a e de b se e somente se d é um divisor comum de a e de b-a.

Passo 1

Vamos resolver o Problema 3.13 sobre propriedades da divisibilidade. A questão está dividida em três partes: (a), (b) e (c). Para isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro (divisibilidade) e como somas e subtrações de múltiplos se comportam. Vamos começar com a parte (a).

Passo 2

Parte (a): Se d mid a e d mid b , então d mid (b+a) e d mid (b-a) .
Primeiro, d mid a significa que existe um inteiro k tal que a = d times k . Da mesma forma, d mid b significa que existe um inteiro m tal que b = d times m .

Passo 3

Agora, somando a e b :
b + a = d times m + d times k = d times (m + k)
Como m + k é um inteiro, isso mostra que d divide b + a , ou seja, d mid (b+a) .

Passo 4

Subtraindo a de b :
b - a = d times m - d times k = d times (m - k)
Novamente, m - k é um inteiro, então d divide b - a , ou seja, d mid (b-a) .

Passo 5

Parte (b): Se d mid (b+a) ou d mid (b-a) e d mid a , então d mid b .
Vamos considerar os dois casos separados.

Passo 6

Primeiro, suponha que d mid (b + a) e d mid a .
Sabemos que:
b + a = d times k e a = d times m
Subtraindo a de b + a :
(b + a) - a = b = d times k - d times m = d times (k - m)
Portanto, d mid b .

Passo 7

Segundo, suponha que d mid (b - a) e d mid a .
Sabemos que:
b - a = d times k e a = d times m
Somando a a b - a :
(b - a) + a = b = d times k + d times m = d times (k + m)
Logo, d mid b .

Passo 8

Parte (c): Conclua que d é um divisor comum de a e de b se e somente se d é um divisor comum de a e de b - a .
Primeiro, se d divide tanto a quanto b , então, pela parte (a), d divide b - a . Portanto, d é um divisor comum de a e de b - a .
Conversamente, se d divide a e b - a , então, somando a a b - a , temos que d mid b , conforme a parte (b). Assim, d também é um divisor comum de a e de b .

Resposta

Portanto, mostramos que:
  • Na parte (a), se d divide a e b , então d divide b + a e b - a .
  • Na parte (b), se d divide b + a ou b - a e d divide a , então d divide b .
  • Na parte (c), concluímos que d é um divisor comum de a e b se e somente se d é um divisor comum de a e b - a .

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