Problema 3.11. Mostre que se a e b são números naturais não nulos, então a mid b e b mid a se, e somente se, a=b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente mostrar que, se a e b são números naturais diferentes de zero, então a divide b e b divide a se e somente se a = b. Isso tá relacionado ao conteúdo de divisibilidade na matemática. Vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e trabalhar com essa definição para provar o que o problema pede.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que a divide b, ou seja, a mid b. Isso quer dizer que existe um número inteiro k tal que:
b = a cdot k
Como a e b são números naturais não nulos, k também precisa ser um número natural.

Passo 3

Agora, vamos supor que a mid b e b mid a. Isso significa que existem inteiros k e m tais que:
b = a cdot k e a = b cdot m
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
b = (b cdot m) cdot k Rightarrow b = b cdot (m cdot k)
Como b neq 0, podemos dividir ambos os lados por b:
1 = m cdot k
Como m e k são números naturais, a única possibilidade é que m = 1 e k = 1. Portanto:
b = a cdot 1 Rightarrow b = a

Passo 4

Agora, vamos provar o outro sentido: se a = b, então a mid b e b mid a.
Se a = b, então claramente:
b = a cdot 1 e a = b cdot 1
Isso mostra que a divide b e b divide a, já que estamos multiplicando por 1.

Resposta

Então, mostramos que a mid b e b mid a se e somente se a = b.

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