Problema 3.11. Mostre que se
e
são números naturais não nulos, então
e
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente mostrar que, se
e
são números naturais diferentes de zero, então
divide
e
divide
se e somente se
. Isso tá relacionado ao conteúdo de divisibilidade na matemática. Vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e trabalhar com essa definição para provar o que o problema pede.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
divide
, ou seja,
. Isso quer dizer que existe um número inteiro
tal que:
Como
e
são números naturais não nulos,
também precisa ser um número natural.
Passo 3
Agora, vamos supor que
e
. Isso significa que existem inteiros
e
tais que:
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Como
e
são números naturais, a única possibilidade é que
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos provar o outro sentido: se
, então
e
.
Se
, então claramente:
Isso mostra que
divide
e
divide
, já que estamos multiplicando por 1.
Resposta
Então, mostramos que
e
se e somente se
.