Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\exists x)\left(x^{2}+2 x>10\right)

Passo 1

O enunciado pede para negar a sentença lógica dada. A sentença fornecida é:
(\exists x)\bigl(x^{2}+2x>10\bigr).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Há um quantificador existencial (\exists x), que afirma "existe pelo menos um x".
  • O predicado é x^{2}+2x>10, ou seja, uma desigualdade envolvendo x.
  • A tarefa é escrever a negação lógica dessa sentença.

Passo 2

Regra básica sobre negação de quantificadores (essa é uma regra padrão de lógica):
\neg\bigl((\exists x)\,P(x)\bigr)\equiv(\forall x)\,\neg P(x).
Isso significa que a negação de “existe x tal que P(x) é verdade” é “para todo x, P(x) não é verdade”. Em palavras: negar um “existe” vira um “para todo” e passa-se a negar o predicado. Um exemplo intuitivo: a negação de “existe uma maçã vermelha” é “todas as maçãs não são vermelhas” (ou seja, “para toda maçã, ela não é vermelha”).

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso, chamando P(x) o predicado x^{2}+2x>10, obtemos:
\neg\bigl((\exists x)(x^{2}+2x>10)\bigr)\equiv(\forall x)\,\neg\bigl(x^{2}+2x>10\bigr).

Passo 4

Agora precisamos negar a desigualdade x^{2}+2x>10. A negação de uma afirmação do tipo “ A>B” é “ A\le B” (se não é maior, então é menor ou igual). Então:
\neg\bigl(x^{2}+2x>10\bigr)\equiv x^{2}+2x\le 10.
Um exemplo numérico rápido: a afirmação “7>5” é verdadeira; a negação “7\le5” é falsa. Para um x qualquer, ou x^{2}+2x>10 ou não; quando não, temos x^{2}+2x\le10.

Passo 5

Juntando os passos anteriores, a negação completa da sentença original é:
(\forall x)\bigl(x^{2}+2x\le 10\bigr).
Opcionalmente, pode-se reescrever a desigualdade em formas equivalentes para interpretação:
x^{2}+2x-10\le 0
ou, completando quadrado,
(x+1)^{2}\le 11,
mas a forma padrão da negação lógica é a apresentada acima.

Resposta

(\forall x)\bigl(x^{2}+2x\le 10\bigr)

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