Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços:
W=\mathrm{O} conjunto das soluções do sistema (1)
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado define o conjunto W como o conjunto das soluções do sistema homogêneo
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A pergunta é: mostrar que esse conjunto W é um subespaço (do espaço \mathbb{R}^3).
Informações relevantes dadas: a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e o sistema é homogêneo (vetor de termos independentes é o vetor nulo).]

Passo 2

O que significa “ser subespaço”? Vou lembrar a definição de forma prática e depois aplicar ao nosso W. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se:
  1. W contém o vetor nulo.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto W das soluções do sistema. (Explicação curta do porquê: o conjunto de soluções de um sistema homogêneo é exatamente o núcleo da aplicação linear x\mapsto Ax, e núcleos são subespaços — eu vou provar isso diretamente com as três propriedades, porque é o jeito mais elementar e útil na prova.)

Passo 3

Verificação da propriedade 1 (contém o vetor nulo).
O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Multiplicando pela matriz A obtemos
A\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
porque qualquer matriz multiplicada pelo vetor nulo dá o vetor nulo. Logo o vetor nulo é solução do sistema e pertence a W.]

Passo 4

Verificação da propriedade 2 (fechamento por soma).
Sejam u=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\\[4pt]z_1\end{pmatrix}\in W e v=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\\[4pt]z_2\end{pmatrix}\in W. Por definição de W temos Au=0 e Av=0. Então, usando a linearidade da multiplicação matricial (propriedade básica: A(u+v)=Au+Av),
A(u+v)=Au+Av=0+0=0.
Portanto u+v é também solução do sistema, ou seja u+v\in W. Assim W é fechado por soma.]

Passo 5

Verificação da propriedade 3 (fechamento por multiplicação por escalar).
Se u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\in W então Au=0. Para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R},
A(\alpha u)=\alpha (Au)=\alpha\cdot 0=0,
novamente usando linearidade. Logo \alpha u é solução e pertence a W. Assim W é fechado por multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão das propriedades: pelas três verificações acima W contém o vetor nulo, é fechado por soma e por multiplicação por escalar, portanto W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para fixar a intuição, vamos também achar explicitamente a forma geral das soluções — isso ajuda a ver que W é na prática a reta gerada por um único vetor.

Passo 7

Resolvendo o sistema para obter a descrição explícita de W. Escrevo a matriz aumentada (mas como o sistema é homogêneo o lado direito é zero e podemos trabalhar só com A). Faço eliminação por linhas (detalhando as operações):
Começo trocando a primeira linha pela segunda (para ter pivô 1):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Agora faço R_3\leftarrow R_3-R_2 para zerar a terceira linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Da segunda linha obtemos a equação 2y-3z=0, isto é
y=\frac{3}{2}z.
Da primeira linha obtemos x+y+2z=0. Substituindo y obtemos
x+\frac{3}{2}z+2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{7}{2}z.]

Passo 8

Escrevendo a solução em forma vetorial: tomando z como parâmetro livre (chamo-o de t\in\mathbb{R}), temos
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Multiplicando por 2 dentro do parâmetro (definindo \lambda=\tfrac{t}{2}) obtemos a forma mais inteira
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}-7\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor \begin{pmatrix}-7\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}. Em linguagem linear, W=\operatorname{span}\{(-7,3,2)\}, uma reta que passa pela origem — claramente um subespaço de dimensão 1.]

Passo 9

Resumo (intuitivo e de prova): já provamos objetivamente, via as três propriedades (contém o zero, fechado por soma e por escalares), que W é subespaço. A resolução explícita mostra que W é a reta gerada por \begin{pmatrix}-7\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}, o que reforça a conclusão.]

Resposta

\displaystyle W=\operatorname{span}\{(-7,3,2)\}=\{\,\lambda(-7,3,2)\mid \lambda\in\mathbb{R}\,\}

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