e o sistema é homogêneo (vetor de termos independentes é o vetor nulo).]
Passo 2
O que significa “ser subespaço”? Vou lembrar a definição de forma prática e depois aplicar ao nosso W. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se:
W contém o vetor nulo.
W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto W das soluções do sistema. (Explicação curta do porquê: o conjunto de soluções de um sistema homogêneo é exatamente o núcleo da aplicação linear x\mapsto Ax, e núcleos são subespaços — eu vou provar isso diretamente com as três propriedades, porque é o jeito mais elementar e útil na prova.)
Passo 3
Verificação da propriedade 1 (contém o vetor nulo).
O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Multiplicando pela matriz A obtemos
porque qualquer matriz multiplicada pelo vetor nulo dá o vetor nulo. Logo o vetor nulo é solução do sistema e pertence a W.]
Passo 4
Verificação da propriedade 2 (fechamento por soma).
Sejam u=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\\[4pt]z_1\end{pmatrix}\in W e v=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\\[4pt]z_2\end{pmatrix}\in W. Por definição de W temos Au=0 e Av=0. Então, usando a linearidade da multiplicação matricial (propriedade básica: A(u+v)=Au+Av),
A(u+v)=Au+Av=0+0=0.
Portanto u+v é também solução do sistema, ou seja u+v\in W. Assim W é fechado por soma.]
Passo 5
Verificação da propriedade 3 (fechamento por multiplicação por escalar).
Se u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\in W então Au=0. Para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R},
A(\alpha u)=\alpha (Au)=\alpha\cdot 0=0,
novamente usando linearidade. Logo \alpha u é solução e pertence a W. Assim W é fechado por multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão das propriedades: pelas três verificações acima W contém o vetor nulo, é fechado por soma e por multiplicação por escalar, portanto W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para fixar a intuição, vamos também achar explicitamente a forma geral das soluções — isso ajuda a ver que W é na prática a reta gerada por um único vetor.
Passo 7
Resolvendo o sistema para obter a descrição explícita de W. Escrevo a matriz aumentada (mas como o sistema é homogêneo o lado direito é zero e podemos trabalhar só com A). Faço eliminação por linhas (detalhando as operações):
Começo trocando a primeira linha pela segunda (para ter pivô 1):
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor \begin{pmatrix}-7\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}. Em linguagem linear, W=\operatorname{span}\{(-7,3,2)\}, uma reta que passa pela origem — claramente um subespaço de dimensão 1.]
Passo 9
Resumo (intuitivo e de prova): já provamos objetivamente, via as três propriedades (contém o zero, fechado por soma e por escalares), que W é subespaço. A resolução explícita mostra que W é a reta gerada por \begin{pmatrix}-7\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}, o que reforça a conclusão.]