Mostre que, se V=W_{1}+W_{2}, \alpha=\left\{u_{1}, \ldots, u_{k}\right\} é uma base de W_{1} e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{r}\right\} é uma base de W_{2}, então \gamma=\left\{u_{1}, \ldots, u_{k}, v_{1}, \ldots, v_{r}\right\} é uma base de V. Este resultado continua verdadeiro se a soma não for direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras. Informações:
  • Temos subespaços W_{1} e W_{2} de um espaço vetorial V.
  • Sabe-se que V=W_{1}+W_{2}. Ou seja, todo vetor de V é soma de um vetor de W_{1} com um vetor de W_{2}.
  • \alpha=\{u_{1},\ldots,u_{k}\} é uma base de W_{1}.
  • \beta=\{v_{1},\ldots,v_{r}\} é uma base de W_{2}.
O que o enunciado pede:
  1. Mostrar que \gamma=\{u_{1},\ldots,u_{k},v_{1},\ldots,v_{r}\} é uma base de V.
  2. Responder se o resultado continua verdadeiro quando a soma não é direta (isto é, quando W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}), justificando a resposta.
Vou trabalhar passo a passo: primeiro explico o que é preciso para mostrar que um conjunto é base, depois chego na prova do que dá sempre e do que só vale com soma direta, com exemplos.

Passo 2

Lembrete didático (o que é preciso mostrar para que \gamma seja base):
  • Definição de base: um subconjunto S\subset V é base de V se (i) S gera V (ou seja, \operatorname{span}(S)=V) e (ii) S é linearmente independente.
  • Então, para provar que \gamma é base de V precisamos provar duas coisas:
    1. \gamma gera V.
    2. \gamma é linearmente independente.
Vou fazer cada parte devagar, explicando por que cada passo vale.

Passo 3

Prova de que \gamma gera V.
Explicação do conceito usado: dizer que \gamma gera V significa que qualquer vetor x\in V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \gamma.
Prova direta: seja x\in V. Como V=W_{1}+W_{2}, existe w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2} tais que
x=w_{1}+w_{2}.
Como \alpha é base de W_{1}, podemos escrever
w_{1}=\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i}
para certos escalares a_{1},\ldots,a_{k}. Como \beta é base de W_{2}, podemos escrever
w_{2}=\sum_{j=1}^{r} b_{j}v_{j}
para certos escalares b_{1},\ldots,b_{r}. Portanto
x=w_{1}+w_{2}=\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i}+\sum_{j=1}^{r} b_{j}v_{j},
que é precisamente uma combinação linear dos vetores de \gamma. Como x era um vetor arbitrário de V, concluímos que \operatorname{span}(\gamma)=V. Ou seja, a geração está garantida sempre que V=W_{1}+W_{2}.
Comentário amigo: até aqui é fácil — juntar as bases gera as somas porque cada parte é gerada pela sua base.

Passo 4

Prova sobre independência linear: por que precisamos do fato de soma direta?
Explicação do conceito usado: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos coeficientes nulos). Para \gamma isso significa: se
\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i}+\sum_{j=1}^{r} b_{j}v_{j}=0,
então todos a_{i}=0 e todos b_{j}=0.
Agora vamos analisar essa equação. Reescrevendo,
\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i} = -\sum_{j=1}^{r} b_{j}v_{j}.
O membro à esquerda está em W_{1} (pois é combinação de vetores de W_{1}) e o membro à direita está em W_{2}. Assim o vetor comum está em W_{1}\cap W_{2}. Ou seja,
\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i}\in W_{1}\cap W_{2}.
Se soubermos que W_{1}\cap W_{2}=\{0\} (ou seja, a soma é direta: V=W_{1}\oplus W_{2}), então o único vetor do lado esquerdo que pode estar nessa interseção é o vetor zero. Logo
\sum_{i=1}^{k} a_{i}u_{i}=0.
Mas \alpha é base de W_{1}, logo é linearmente independente, o que implica que todos os a_{i}=0. Substituindo de volta na igualdade original, obtemos
\sum_{j=1}^{r} b_{j}v_{j}=0,
e então, pela independência de \beta, todos os b_{j}=0. Portanto a única combinação linear que dá zero é a trivial, e assim \gamma é linearmente independente.
Resumo deste passo: a independência de \gamma segue exatamente porque qualquer relação linear entre vetores de \gamma dá uma relação em que um vetor está simultaneamente em W_{1} e em W_{2}; se a interseção for só \{0\} isso força as duas somas a serem zero separadamente e então os coeficientes são nulos.

Passo 5

Conclusão do caso soma direta e dimensão.
Juntando os passos anteriores: sempre que V=W_{1}\oplus W_{2} (ou seja, V=W_{1}+W_{2} e W_{1}\cap W_{2}=\{0\}), temos
  • \gamma gera V (Passo 3),
  • \gamma é linearmente independente (Passo 4),
    logo \gamma é base de V.
Resultado útil e prático: nesse caso a dimensão soma. Como \alpha tem k vetores e \beta tem r vetores, obtemos
\dim V = k + r.
Pequeno incentivo: isso é ótimo porque dá uma forma prática de construir base de V juntando bases das parcelas quando a soma é direta.

Passo 6

O que acontece se a soma não for direta? (contraexemplo e explicação)
Se W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}, então a prova da independência quebra: não podemos concluir que \sum_{i}a_{i}u_{i}=0 a partir de \sum_{i}a_{i}u_{i}=-\sum_{j}b_{j}v_{j}, porque esse vetor comum pode ser um vetor não-nulo da interseção. Em outras palavras, pode haver representações diferentes do mesmo vetor como soma de um elemento de W_{1} e um de W_{2}, o que gera dependências entre os vetores de \gamma.
Vou dar um contraexemplo bem simples para mostrar que a afirmação original (sem hipótese adicional) é falsa:
Exemplo em \mathbb{R}^{2}. Tome
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,0)\},\qquad W_{2}=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Então W_{1}=W_{2} e W_{1}\cap W_{2}=W_{1}\neq\{0\}. Bases:
\alpha=\{u_{1}\} \quad\text{com } u_{1}=(1,0),
\beta=\{v_{1}\} \quad\text{com } v_{1}=(1,0).
A união é \gamma=\{u_{1},v_{1}\}=\{(1,0),(1,0)\}. Claramente \gamma não é independente porque
1\cdot u_{1} + (-1)\cdot v_{1} = (1,0)-(1,0)=(0,0),
é uma relação linear não-trivial. Assim \gamma não é base de V (aliás, aqui V seria W_{1}+W_{2}=W_{1}, de dimensão 1, e \gamma tem redundância).
Portanto, sem a hipótese de soma direta, a união das bases pode falhar em ser independente e, consequentemente, pode não ser base. Assim a afirmação não permanece verdadeira em geral quando a soma não é direta.
Observação final útil: quando a soma não é direta você ainda pode obter uma base de V começando por uma base de W_{1} e adicionando vetores de W_{2} que não estejam no span de W_{1} até gerar todo V. Em outras palavras, é possível extrair uma base de V a partir das bases de W_{1} e W_{2}, mas geralmente será preciso eliminar vetores redundantes; a união simples pode ser dependente.

Resposta

Se V=W_{1}\oplus W_{2} (soma direta), então \gamma=\{u_{1},\ldots,u_{k},v_{1},\ldots,v_{r}\} é base de V e \dim V=k+r.
Não; se a soma não for direta ( W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}) a união \gamma nem sempre é independente e portanto nem sempre é base (contraexemplo dado em \mathbb{R}^{2} acima).

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