Mostre que, se
é uma base de
e
é uma base de
, então
é uma base de
. Este resultado continua verdadeiro se a soma não for direta? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras. Informações:
- Temos subespaços
e de um espaço vetorial . - Sabe-se que
. Ou seja, todo vetor de é soma de um vetor de com um vetor de . -
é uma base de . -
é uma base de .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é uma base de . - Responder se o resultado continua verdadeiro quando a soma não é direta (isto é, quando
), justificando a resposta.
Vou trabalhar passo a passo: primeiro explico o que é preciso para mostrar que um conjunto é base, depois chego na prova do que dá sempre e do que só vale com soma direta, com exemplos.
Passo 2
Lembrete didático (o que é preciso mostrar para que
seja base):
- Definição de base: um subconjunto
é base de se (i) gera (ou seja, ) e (ii) é linearmente independente. - Então, para provar que
é base de precisamos provar duas coisas: -
gera . -
é linearmente independente.
-
Vou fazer cada parte devagar, explicando por que cada passo vale.
Passo 3
Prova de que
gera
.
Explicação do conceito usado: dizer que
gera
significa que qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
.
Prova direta: seja
. Como
, existe
e
tais que
Como
é base de
, podemos escrever
para certos escalares
. Como
é base de
, podemos escrever
para certos escalares
. Portanto
que é precisamente uma combinação linear dos vetores de
. Como
era um vetor arbitrário de
, concluímos que
. Ou seja, a geração está garantida sempre que
.
Comentário amigo: até aqui é fácil — juntar as bases gera as somas porque cada parte é gerada pela sua base.
Passo 4
Prova sobre independência linear: por que precisamos do fato de soma direta?
Explicação do conceito usado: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos coeficientes nulos). Para
isso significa: se
então todos
e todos
.
Agora vamos analisar essa equação. Reescrevendo,
O membro à esquerda está em
(pois é combinação de vetores de
) e o membro à direita está em
. Assim o vetor comum está em
. Ou seja,
Se soubermos que
(ou seja, a soma é direta:
), então o único vetor do lado esquerdo que pode estar nessa interseção é o vetor zero. Logo
Mas
é base de
, logo é linearmente independente, o que implica que todos os
. Substituindo de volta na igualdade original, obtemos
e então, pela independência de
, todos os
. Portanto a única combinação linear que dá zero é a trivial, e assim
é linearmente independente.
Resumo deste passo: a independência de
segue exatamente porque qualquer relação linear entre vetores de
dá uma relação em que um vetor está simultaneamente em
e em
; se a interseção for só
isso força as duas somas a serem zero separadamente e então os coeficientes são nulos.
Passo 5
Conclusão do caso soma direta e dimensão.
Juntando os passos anteriores: sempre que
(ou seja,
e
), temos
-
gera (Passo 3), -
é linearmente independente (Passo 4),
logoé base de .
Resultado útil e prático: nesse caso a dimensão soma. Como
tem
vetores e
tem
vetores, obtemos
Pequeno incentivo: isso é ótimo porque dá uma forma prática de construir base de
juntando bases das parcelas quando a soma é direta.
Passo 6
O que acontece se a soma não for direta? (contraexemplo e explicação)
Se
, então a prova da independência quebra: não podemos concluir que
a partir de
, porque esse vetor comum pode ser um vetor não-nulo da interseção. Em outras palavras, pode haver representações diferentes do mesmo vetor como soma de um elemento de
e um de
, o que gera dependências entre os vetores de
.
Vou dar um contraexemplo bem simples para mostrar que a afirmação original (sem hipótese adicional) é falsa:
Exemplo em
. Tome
Então
e
. Bases:
A união é
. Claramente
não é independente porque
é uma relação linear não-trivial. Assim
não é base de
(aliás, aqui
seria
, de dimensão
, e
tem redundância).
Portanto, sem a hipótese de soma direta, a união das bases pode falhar em ser independente e, consequentemente, pode não ser base. Assim a afirmação não permanece verdadeira em geral quando a soma não é direta.
Observação final útil: quando a soma não é direta você ainda pode obter uma base de
começando por uma base de
e adicionando vetores de
que não estejam no span de
até gerar todo
. Em outras palavras, é possível extrair uma base de
a partir das bases de
e
, mas geralmente será preciso eliminar vetores redundantes; a união simples pode ser dependente.
Resposta
Se
(soma direta), então
é base de
e
.
Não; se a soma não for direta ( ) a união
nem sempre é independente e portanto nem sempre é base (contraexemplo dado em
acima).
Não; se a soma não for direta (