Considere o conjunto
munido das operações:
.
Verifique que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O que o problema pede: verificar que o conjunto
munido da multiplicação escalar dada por
é um espaço vetorial. Informações dadas: a regra da multiplicação escalar está explícita. Vou também usar a adição usual de vetores (que é a operação natural esperada): para
definimos
O que precisamos mostrar (lista das propriedades a verificar): as propriedades usuais de espaço vetorial sobre o corpo
,
- fechamento para adição e multiplicação escalar; 2) associatividade da adição; 3) comutatividade da adição; 4) existência de elemento neutro aditivo; 5) existência de inverso aditivo; 6) compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação em
(associatividade escalar); 7) existência do escalar unidade agindo como identidade; 8) distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores; 9) distributividade em relação à soma de escalares. A partir do Passo 2 eu vou verificar cada item, explicando com calma cada fórmula e por que vale.
Passo 2
Fechamento para adição e multiplicação escalar (primeira propriedade prática).
Definição: sejam e
em
e
. Então pela definição de adição temos
Definição: sejam
Cada coordenada
é soma de dois reais, logo é real; portanto
. Isto prova fechamento por adição. Pela definição dada de multiplicação escalar,
Cada coordenada
é produto de reais, logo é real; portanto
. Isto prova fechamento por multiplicação escalar. Intuição rápida com números: em
,
e
, ambos permanecem em
.
Passo 3
Associatividade da adição.
Queremos mostrar que para quaisquer vale
. Escrevendo coordenada a coordenada, se
,
,
, então
Queremos mostrar que para quaisquer
Pelo mesmo raciocínio,
Como a soma em
é associativa,
para cada
. Portanto as coordenadas correspondentes coincidem e temos
. Conclusão: adição é associativa em
.
Passo 4
Comutatividade da adição.
Queremos . Pela definição coordenada a coordenada,
Queremos
Como a soma em
é comutativa
para todo
, as duas coordenadas coincidem para cada
, logo
. Simples assim.
Passo 5
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).
Definimos o vetor zero como
Definimos o vetor zero como
onde cada coordenada é o elemento
. Para qualquer
temos
porque
em
. Assim
é o elemento neutro aditivo. (Observação: é único, mas não precisamos provar unicidade para concluir espaço vetorial — já é o elemento que buscamos.)
Passo 6
Existência de inverso aditivo.
Para cada definimos o inverso aditivo como
Para cada
onde
é o inverso aditivo de
em
. Então
Logo todo vetor tem inverso aditivo. (Mais: o inverso é único coordena-wise.)
Passo 7
Compatibilidade da multiplicação escalar com produto de escalares (associatividade escalar).
Queremos mostrar que para quaisquer e
vale
. Escrevendo coordenadas,
Queremos mostrar que para quaisquer
e
Como em
temos
para cada
, as coordenadas coincidem e portanto
.
Passo 8
Existência do escalar unidade agindo como identidade.
Queremos para todo
. Pela definição de multiplicação escalar,
Queremos
pois
em
.
Passo 9
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores.
Queremos . Escrevendo coordenadas,
Queremos
então
Pelo distributivo em
temos
, assim
Passo 10
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
Queremos . Coordenada a coordenada,
Queremos
e pelo distributivo em
,
Logo
Passo 11
Conclusão final e comentário amigo.
Mostrei, coordenada a coordenada, que todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre o corpo são satisfeitas pelas operações de adição e multiplicação escalar definidas em
. Cada passo usou apenas propriedades básicas dos números reais (associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso, distributividade e identidade multiplicativa), aplicadas coordenada a coordenada. Portanto estamos garantidos:
com as operações usuais é mesmo um espaço vetorial. Força aí — sempre que vir algo em
pense coordenada a coordenada; essa é a chave para quase todas as verificações.
Mostrei, coordenada a coordenada, que todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre o corpo
Resposta
Sim:
com a adição
e a multiplicação escalar
é um espaço vetorial sobre
.