Considere o conjunto \mathbb{R}^{n}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{i} \in \mathbb{R}, i=1, \ldots, n\right\} munido das operações:
\lambda \cdot\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(\lambda x_{1}, \ldots, \lambda x_{n}\right).
Verifique que \mathbb{R}^{n} é um espaço vetorial.

Passo 1

O que o problema pede: verificar que o conjunto \mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}): x_{i}\in\mathbb{R}\} munido da multiplicação escalar dada por
\lambda\cdot(x_{1},\dots,x_{n}):=(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})
é um espaço vetorial. Informações dadas: a regra da multiplicação escalar está explícita. Vou também usar a adição usual de vetores (que é a operação natural esperada): para (x_{1},\dots,x_{n}), (y_{1},\dots,y_{n})\in\mathbb{R}^{n} definimos
(x_{1},\dots,x_{n})+(y_{1},\dots,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\dots,x_{n}+y_{n}).
O que precisamos mostrar (lista das propriedades a verificar): as propriedades usuais de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R},
  1. fechamento para adição e multiplicação escalar; 2) associatividade da adição; 3) comutatividade da adição; 4) existência de elemento neutro aditivo; 5) existência de inverso aditivo; 6) compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação em \mathbb{R} (associatividade escalar); 7) existência do escalar unidade agindo como identidade; 8) distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores; 9) distributividade em relação à soma de escalares. A partir do Passo 2 eu vou verificar cada item, explicando com calma cada fórmula e por que vale.

Passo 2

Fechamento para adição e multiplicação escalar (primeira propriedade prática).
Definição: sejam u=(u_{1},\dots,u_{n}) e v=(v_{1},\dots,v_{n}) em \mathbb{R}^{n} e \alpha\in\mathbb{R}. Então pela definição de adição temos
u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}).
Cada coordenada u_{i}+v_{i} é soma de dois reais, logo é real; portanto u+v\in\mathbb{R}^{n}. Isto prova fechamento por adição. Pela definição dada de multiplicação escalar,
\alpha\cdot u=(\alpha u_{1},\dots,\alpha u_{n}).
Cada coordenada \alpha u_{i} é produto de reais, logo é real; portanto \alpha\cdot u\in\mathbb{R}^{n}. Isto prova fechamento por multiplicação escalar. Intuição rápida com números: em \mathbb{R}^{3}, (1,2,3)+(4,0,-1)=(5,2,2) e 2\cdot(1,2,3)=(2,4,6), ambos permanecem em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Associatividade da adição.
Queremos mostrar que para quaisquer u,v,w\in\mathbb{R}^{n} vale (u+v)+w=u+(v+w). Escrevendo coordenada a coordenada, se u=(u_{1},\dots,u_{n}), v=(v_{1},\dots,v_{n}), w=(w_{1},\dots,w_{n}), então
(u+v)+w = (u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n})+ (w_{1},\dots,w_{n}) = ( (u_{1}+v_{1})+w_{1},\dots,(u_{n}+v_{n})+w_{n} ).
Pelo mesmo raciocínio,
u+(v+w) = ( u_{1}+(v_{1}+w_{1}),\dots, u_{n}+(v_{n}+w_{n}) ).
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (u_{i}+v_{i})+w_{i}=u_{i}+(v_{i}+w_{i}) para cada i. Portanto as coordenadas correspondentes coincidem e temos (u+v)+w=u+(v+w). Conclusão: adição é associativa em \mathbb{R}^{n}.

Passo 4

Comutatividade da adição.
Queremos u+v=v+u. Pela definição coordenada a coordenada,
u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}),\qquad v+u=(v_{1}+u_{1},\dots,v_{n}+u_{n}).
Como a soma em \mathbb{R} é comutativa u_{i}+v_{i}=v_{i}+u_{i} para todo i, as duas coordenadas coincidem para cada i, logo u+v=v+u. Simples assim.

Passo 5

Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).
Definimos o vetor zero como
0:= (0,0,\dots,0),
onde cada coordenada é o elemento 0\in\mathbb{R}. Para qualquer u=(u_{1},\dots,u_{n}) temos
u+0 = (u_{1}+0,\dots,u_{n}+0) = (u_{1},\dots,u_{n}) = u,
porque a+0=a em \mathbb{R}. Assim 0 é o elemento neutro aditivo. (Observação: é único, mas não precisamos provar unicidade para concluir espaço vetorial — já é o elemento que buscamos.)

Passo 6

Existência de inverso aditivo.
Para cada u=(u_{1},\dots,u_{n}) definimos o inverso aditivo como
-u := (-u_{1},\dots,-u_{n}),
onde -u_{i} é o inverso aditivo de u_{i} em \mathbb{R}. Então
u+(-u) = (u_{1}+(-u_{1}),\dots,u_{n}+(-u_{n})) = (0,\dots,0)=0.
Logo todo vetor tem inverso aditivo. (Mais: o inverso é único coordena-wise.)

Passo 7

Compatibilidade da multiplicação escalar com produto de escalares (associatividade escalar).
Queremos mostrar que para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^{n} vale (\alpha\beta)\cdot u = \alpha\cdot(\beta\cdot u). Escrevendo coordenadas,
(\alpha\beta)\cdot u = \big((\alpha\beta)u_{1},\dots,(\alpha\beta)u_{n}\big)
e
\alpha\cdot(\beta\cdot u) = \alpha\cdot(\beta u_{1},\dots,\beta u_{n}) = (\alpha(\beta u_{1}),\dots,\alpha(\beta u_{n})).
Como em \mathbb{R} temos (\alpha\beta)u_{i}=\alpha(\beta u_{i}) para cada i, as coordenadas coincidem e portanto (\alpha\beta)\cdot u=\alpha\cdot(\beta\cdot u).

Passo 8

Existência do escalar unidade agindo como identidade.
Queremos 1\cdot u = u para todo u. Pela definição de multiplicação escalar,
1\cdot u = (1\cdot u_{1},\dots,1\cdot u_{n}) = (u_{1},\dots,u_{n}) = u,
pois 1\cdot a = a em \mathbb{R}.

Passo 9

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores.
Queremos \alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u + \alpha\cdot v. Escrevendo coordenadas,
u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}),
então
\alpha\cdot(u+v) = (\alpha(u_{1}+v_{1}),\dots,\alpha(u_{n}+v_{n})).
Pelo distributivo em \mathbb{R} temos \alpha(u_{i}+v_{i})=\alpha u_{i}+\alpha v_{i}, assim
\alpha\cdot(u+v) = (\alpha u_{1}+\alpha v_{1},\dots,\alpha u_{n}+\alpha v_{n}) = (\alpha u_{1},\dots,\alpha u_{n}) + (\alpha v_{1},\dots,\alpha v_{n}) = \alpha\cdot u + \alpha\cdot v.

Passo 10

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
Queremos (\alpha+\beta)\cdot u = \alpha\cdot u + \beta\cdot u. Coordenada a coordenada,
(\alpha+\beta)\cdot u = ((\alpha+\beta)u_{1},\dots,(\alpha+\beta)u_{n}),
e pelo distributivo em \mathbb{R},
(\alpha+\beta)u_{i} = \alpha u_{i} + \beta u_{i}.
Logo
(\alpha+\beta)\cdot u = (\alpha u_{1}+\beta u_{1},\dots,\alpha u_{n}+\beta u_{n}) = (\alpha u_{1},\dots,\alpha u_{n}) + (\beta u_{1},\dots,\beta u_{n}) = \alpha\cdot u + \beta\cdot u.

Passo 11

Conclusão final e comentário amigo.
Mostrei, coordenada a coordenada, que todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} são satisfeitas pelas operações de adição e multiplicação escalar definidas em \mathbb{R}^{n}. Cada passo usou apenas propriedades básicas dos números reais (associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso, distributividade e identidade multiplicativa), aplicadas coordenada a coordenada. Portanto estamos garantidos: \mathbb{R}^{n} com as operações usuais é mesmo um espaço vetorial. Força aí — sempre que vir algo em \mathbb{R}^{n} pense coordenada a coordenada; essa é a chave para quase todas as verificações.

Resposta

Sim: \mathbb{R}^{n} com a adição (x_{1},\dots,x_{n})+(y_{1},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\dots,x_{n}+y_{n}) e a multiplicação escalar \lambda\cdot(x_{1},\dots,x_{n})=(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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