Mostre que sen z e
são funções periódicas de período
, como no caso real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
, definidas para
complexo, são periódicas de período
, isto é, que acrescentar
à variável não altera os valores dessas funções. Informação relevante que vamos usar (definições usuais da análise complexa): as funções seno e cosseno complexas podem ser escritas em termos da exponencial complexa como
Também usaremos a propriedade multiplicativa da exponencial complexa
para quaisquer
, e o fato clássico (fácil de ver pela fórmula de Euler ou pelas séries) de que
logo em particular
Passo 2
Vou explicar rapidamente por que podemos usar as fórmulas exponenciais acima: a exponencial complexa
é definida pela série de potências
essa série converge para todo
e satisfaz
. As séries de seno e cosseno
são relacionadas com a exponencial via as identidades já escritas em bloco no Passo 1. Essas identidades vêm da decomposição das séries de
e
em parte ímpar e par.
Passo 3
Calcule
usando a fórmula exponencial. Primeiro note que, usando
e o fato de que
,
e de forma análoga
Agora apliquei isso na definição de
:
Aqui usei passo a passo a propriedade multiplicativa da exponencial e o valor
.
Passo 4
Faço o mesmo para
. Usando os mesmos cálculos para as exponenciais,
Passo 5
Concluímos, portanto, que tanto
quanto
não mudam se adicionarmos
à variável
. Uma observação prática e útil para prova: a mesma demonstração mostra que qualquer múltiplo inteiro de
também é período, isto é, para todo
Isso é exatamente o análogo, no campo complexo, da periodicidade bem conhecida no caso real.