Mostre que sen z e \cos \mathrm{z} são funções periódicas de período 2 \pi, como no caso real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \sin z e \cos z, definidas para z complexo, são periódicas de período 2\pi, isto é, que acrescentar 2\pi à variável não altera os valores dessas funções. Informação relevante que vamos usar (definições usuais da análise complexa): as funções seno e cosseno complexas podem ser escritas em termos da exponencial complexa como
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Também usaremos a propriedade multiplicativa da exponencial complexa
e^{u+v}=e^{u}e^{v}
para quaisquer u,v\in\mathbb{C}, e o fato clássico (fácil de ver pela fórmula de Euler ou pelas séries) de que
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\quad(\theta\in\mathbb{R}),
logo em particular
e^{2\pi i}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1.

Passo 2

Vou explicar rapidamente por que podemos usar as fórmulas exponenciais acima: a exponencial complexa e^w é definida pela série de potências
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
essa série converge para todo w\in\mathbb{C} e satisfaz e^{u+v}=e^{u}e^{v}. As séries de seno e cosseno
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}
são relacionadas com a exponencial via as identidades já escritas em bloco no Passo 1. Essas identidades vêm da decomposição das séries de e^{iz} e e^{-iz} em parte ímpar e par.

Passo 3

Calcule \sin(z+2\pi) usando a fórmula exponencial. Primeiro note que, usando e^{u+v}=e^{u}e^{v} e o fato de que e^{2\pi i}=1,
e^{i(z+2\pi)}=e^{iz}e^{i2\pi}=e^{iz}\cdot 1=e^{iz},
e de forma análoga
e^{-i(z+2\pi)}=e^{-iz}e^{-i2\pi}=e^{-iz}\cdot 1=e^{-iz}.
Agora apliquei isso na definição de \sin:
\sin(z+2\pi)=\frac{e^{i(z+2\pi)}-e^{-i(z+2\pi)}}{2i} =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\sin z.
Aqui usei passo a passo a propriedade multiplicativa da exponencial e o valor e^{2\pi i}=1.

Passo 4

Faço o mesmo para \cos. Usando os mesmos cálculos para as exponenciais,
\cos(z+2\pi)=\frac{e^{i(z+2\pi)}+e^{-i(z+2\pi)}}{2} =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z.

Passo 5

Concluímos, portanto, que tanto \sin z quanto \cos z não mudam se adicionarmos 2\pi à variável z. Uma observação prática e útil para prova: a mesma demonstração mostra que qualquer múltiplo inteiro de 2\pi também é período, isto é, para todo k\in\mathbb{Z}
\sin(z+2\pi k)=\sin z,\qquad \cos(z+2\pi k)=\cos z.
Isso é exatamente o análogo, no campo complexo, da periodicidade bem conhecida no caso real.

Resposta

\sin(z+2\pi)=\sin z
\cos(z+2\pi)=\cos z

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