Para os itens a seguir, calcule a integral de f ao longo do contorno C.
e) f(z)=y-x^{2} ao longo do segmento da origem ao ponto ( 2,0 ), seguido do segmento de (2,0) a (2,1); depois ao longo de (0,0) a (0,1), seguido do segmento de (0,1) a (2,1). Verifique que os resultados são diferentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da função f ao longo de duas rotas distintas entre os mesmos pontos, e verificar que os resultados são diferentes. As informações dadas são:
  • A função é f(z)=y-x^{2}.
  • Vamos integrar f em caminhos no plano xy (ou seja, em \mathbb{C} com z=x+iy).
  • Os dois caminhos conectam o ponto (0,0) ao ponto (2,1), mas por rotas diferentes:
    1. Caminho C_{1}: segmento de (0,0) a (2,0) seguido do segmento de (2,0) a (2,1).
    2. Caminho C_{2}: segmento de (0,0) a (0,1) seguido do segmento de (0,1) a (2,1).
  • A tarefa é calcular \displaystyle\int_{C} f(z)\,dz para cada uma dessas rotas e mostrar que os valores são diferentes.

Passo 2

Primeiro uma fórmula útil (a “aula rápida” que sempre uso aqui): escrevendo z=x+iy e decompondo f em parte real e imaginária, f=u+iv, temos dz=dx+i\,dy. Então
f(z)\,dz=(u+iv)(dx+i\,dy)=(u\,dx-v\,dy)+i(v\,dx+u\,dy).
Isto significa que, para calcular \displaystyle\int_{C} f(z)\,dz, podemos parametrizar o caminho por (x(t),y(t)), calcular dx e dy, e integrar diretamente (u+iv)(dx+i\,dy). No nosso caso f=y-x^{2} é puramente real, então u=y-x^{2} e v=0. Assim a expressão simplifica para
f(z)\,dz=(y-x^{2})(dx+i\,dy).
Ou seja, em cada segmento basta substituir x(t),y(t), calcular dx e dy, e integrar (y-x^{2})\,dx + i(y-x^{2})\,dy conforme os diferentes trechos.

Passo 3

Vamos calcular a integral ao longo de C_{1}. Primeiro o segmento S_{1} de (0,0) a (2,0).
  • Parametrização: x=t, y=0, com t\in[0,2].
  • Então dx=dt e dy=0.
  • Em S_{1}, y-x^{2}=0-t^{2}=-t^{2}.
  • O integrando é (y-x^{2})(dx+i\,dy) = (-t^{2})(dt + i\cdot 0) = -t^{2}\,dt.
  • Integral em S_{1}:
\int_{S_{1}} f(z)\,dz = \int_{0}^{2} (-t^{2})\,dt = -\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3}.

Passo 4

Agora o segmento S_{2} de (2,0) a (2,1).
  • Parametrização: x=2, y=s, com s\in[0,1].
  • Então dx=0 e dy=ds.
  • Em S_{2}, y-x^{2}=s-4.
  • O integrando é (s-4)(0 + i\,ds) = i(s-4)\,ds.
  • Integral em S_{2}:
\int_{S_{2}} f(z)\,dz = i\int_{0}^{1} (s-4)\,ds = i\left[\frac{s^{2}}{2}-4s\right]_{0}^{1} = i\left(\frac{1}{2}-4\right)= -\frac{7}{2}\,i.

Passo 5

Somando os dois trechos de C_{1}:
\int_{C_{1}} f(z)\,dz = \int_{S_{1}} f(z)\,dz + \int_{S_{2}} f(z)\,dz = -\frac{8}{3} - \frac{7}{2}\,i.

Passo 6

Agora calculamos a integral ao longo de C_{2}. Primeiro o segmento T_{1} de (0,0) a (0,1).
  • Parametrização: x=0, y=t, com t\in[0,1].
  • Então dx=0 e dy=dt.
  • Em T_{1}, y-x^{2}=t-0=t.
  • O integrando é t(0 + i\,dt)= i t\,dt.
  • Integral em T_{1}:
\int_{T_{1}} f(z)\,dz = i\int_{0}^{1} t\,dt = i\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{i}{2}.

Passo 7

Agora o segmento T_{2} de (0,1) a (2,1).
  • Parametrização: x=r, y=1, com r\in[0,2].
  • Então dx=dr e dy=0.
  • Em T_{2}, y-x^{2}=1-r^{2}.
  • O integrando é (1-r^{2})(dr + i\cdot 0) = (1-r^{2})\,dr.
  • Integral em T_{2}:
\int_{T_{2}} f(z)\,dz = \int_{0}^{2} (1-r^{2})\,dr = \left[r-\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2-\frac{8}{3} = -\frac{2}{3}.

Passo 8

Somando os dois trechos de C_{2}:
\int_{C_{2}} f(z)\,dz = \int_{T_{1}} f(z)\,dz + \int_{T_{2}} f(z)\,dz = -\frac{2}{3} + \frac{i}{2}.

Passo 9

Comparando:
  • Para C_{1} obtivemos -\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{2}\,i.
  • Para C_{2} obtivemos -\dfrac{2}{3}+\dfrac{i}{2}.
    Os valores são claramente diferentes, o que confirma que a integral depende do caminho. Isso é consistente com o fato de f não ser holomorfa: se f=u+iv fosse holomorfa numa região contendo os caminhos, a integral entre dois pontos seria independente do caminho. Aqui u=y-x^{2} e v=0; as equações de Cauchy–Riemann seriam \partial u/\partial x = \partial v/\partial y e \partial u/\partial y = -\partial v/\partial x, ou seja -2x = 0 e 1=0, o que não vale. Logo dependência de caminho era esperada.

Resposta

-\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{2}\,i\n -\dfrac{2}{3}+\dfrac{i}{2}

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