Para os itens a seguir, calcule a integral de
ao longo do contorno
.
e)
ao longo do segmento da origem ao ponto ( 2,0 ), seguido do segmento de
a
; depois ao longo de
a
, seguido do segmento de
a
. Verifique que os resultados são diferentes.
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha da função
ao longo de duas rotas distintas entre os mesmos pontos, e verificar que os resultados são diferentes. As informações dadas são:
- A função é
. - Vamos integrar
em caminhos no plano (ou seja, em com ). - Os dois caminhos conectam o ponto
ao ponto , mas por rotas diferentes: - Caminho
: segmento de a seguido do segmento de a . - Caminho
: segmento de a seguido do segmento de a .
- Caminho
- A tarefa é calcular
para cada uma dessas rotas e mostrar que os valores são diferentes.
Passo 2
Primeiro uma fórmula útil (a “aula rápida” que sempre uso aqui): escrevendo
e decompondo
em parte real e imaginária,
, temos
. Então
Isto significa que, para calcular
, podemos parametrizar o caminho por
, calcular
e
, e integrar diretamente
. No nosso caso
é puramente real, então
e
. Assim a expressão simplifica para
Ou seja, em cada segmento basta substituir
, calcular
e
, e integrar
conforme os diferentes trechos.
Passo 3
Vamos calcular a integral ao longo de
. Primeiro o segmento
de
a
.
- Parametrização:
, , com . - Então
e . - Em
, . - O integrando é
. - Integral em
:
Passo 4
Agora o segmento
de
a
.
- Parametrização:
, , com . - Então
e . - Em
, . - O integrando é
. - Integral em
:
Passo 5
Somando os dois trechos de
:
Passo 6
Agora calculamos a integral ao longo de
. Primeiro o segmento
de
a
.
- Parametrização:
, , com . - Então
e . - Em
, . - O integrando é
. - Integral em
:
Passo 7
Agora o segmento
de
a
.
- Parametrização:
, , com . - Então
e . - Em
, . - O integrando é
. - Integral em
:
Passo 8
Somando os dois trechos de
:
Passo 9
Comparando:
- Para
obtivemos . - Para
obtivemos .
Os valores são claramente diferentes, o que confirma que a integral depende do caminho. Isso é consistente com o fato denão ser holomorfa: se fosse holomorfa numa região contendo os caminhos, a integral entre dois pontos seria independente do caminho. Aqui e ; as equações de Cauchy–Riemann seriam e , ou seja e , o que não vale. Logo dependência de caminho era esperada.