Mostre que
, e que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar a fórmula explícita de
em termos do logaritmo complexo e calcular a derivada de
. As informações relevantes são:
-
é um número complexo arbitrário (salvo problemas óbvios de divisão por zero). - A definição que vamos usar:
é uma função inversa de , ou seja, se então . - Precisamos ter cuidado nos pontos em que aparecem denominadores nulos:
(pois aparecem termos no caminho).
Passo 2
Primeiro vamos relembrar e escrever a função
em forma exponencial (isso ajuda bastante para inverter a relação). Começamos por
e
:
Dividindo
por
obtemos
. Fazendo a conta com cuidado:
Multiplicando numerador e denominador por
simplifica-se para uma forma útil:
Passo 3
Agora usamos a definição inversa: seja
. Então por definição
Para tornar a equação mais simples, introduzimos a variável auxiliar
A equação fica
Passo 4
Vamos resolver a equação pela variável
. Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Distribuindo:
Colocando os termos com
do mesmo lado:
Logo
Lembrando que
, podemos escrever
Passo 5
Lembrando que
, tomamos logaritmo (logaritmo complexo) dos dois lados:
Agora isolamos
:
Para obter a forma solicitada trocamos o sinal dentro do log usando a propriedade
. Observamos que
portanto
Assim chegamos à fórmula desejada (com a observação de que os pontos
são singulares porque anulam denominadores e o logcomplexo precisa escolher ramo):
Passo 6
Um comentário prático sobre domínio e ramo: a identidade acima vale para valores de
tais que
(ou seja,
) e tomando-se um ramo apropriado do logaritmo complexo para definir
de forma contínua na região desejada. Em provas, normalmente basta indicar que estamos usando o logaritmo complexo principal e excluir
.
Passo 7
Agora vamos derivar
. Partimos da expressão obtida:
Usamos a regra da derivada do log (cadeia): para uma função
temos
, e também que
. Portanto
Calculamos cada derivada (derivada de
simples):
Logo
Passo 8
Fazemos a soma com denominador comum:
Como
, temos
. Portanto
Multiplicando pelo fator
que estava à frente do log:
usando
. Esta é a derivada buscada, válida onde a função é analítica (novamente excluindo
e eventuais cortes do log).
Passo 9
Como verificação rápida e intuitiva (útil para prova): da identidade
podemos derivar implicitamente. Se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
e usando a regra da cadeia:
Como
e
, obtemos
mesmo resultado, e esta é uma forma curta e elegante de lembrar a derivada.