Mostre que \operatorname{arctg} \mathrm{z}=\frac{i}{2} \log \frac{i+z}{i-z}, e que (\operatorname{arctg} \mathrm{z})^{\prime}=\frac{1}{1+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar a fórmula explícita de \operatorname{arctg}z em termos do logaritmo complexo e calcular a derivada de \operatorname{arctg}z. As informações relevantes são:
  • z é um número complexo arbitrário (salvo problemas óbvios de divisão por zero).
  • A definição que vamos usar: \operatorname{arctg}z é uma função inversa de \tan w, ou seja, se w=\operatorname{arctg}z então \tan w=z.
  • Precisamos ter cuidado nos pontos em que aparecem denominadores nulos: z\neq \pm i (pois aparecem termos i\pm z no caminho).

Passo 2

Primeiro vamos relembrar e escrever a função \tan w em forma exponencial (isso ajuda bastante para inverter a relação). Começamos por \sin e \cos:
\sin w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i},\qquad \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}.
Dividindo \sin w por \cos w obtemos \tan w. Fazendo a conta com cuidado:
\tan w=\frac{\sin w}{\cos w} =\frac{\dfrac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}{\dfrac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}} =\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{i\,(e^{iw}+e^{-iw})}.
Multiplicando numerador e denominador por e^{iw} simplifica-se para uma forma útil:
\tan w=-i\frac{e^{2iw}-1}{e^{2iw}+1}.

Passo 3

Agora usamos a definição inversa: seja w=\operatorname{arctg}z. Então por definição
z=\tan w=-i\frac{e^{2iw}-1}{e^{2iw}+1}.
Para tornar a equação mais simples, introduzimos a variável auxiliar
t=e^{2iw}.
A equação fica
z=-i\frac{t-1}{t+1}.

Passo 4

Vamos resolver a equação pela variável t. Multiplicando ambos os lados por t+1 e isolando t:
z(t+1)=-i(t-1).
Distribuindo:
zt+z=-it+i.
Colocando os termos com t do mesmo lado:
t(z+i)=i-z.
Logo
t=\frac{i-z}{z+i}.
Lembrando que z+i=i+z, podemos escrever
t=\frac{i-z}{i+z}.

Passo 5

Lembrando que t=e^{2iw}, tomamos logaritmo (logaritmo complexo) dos dois lados:
2iw=\log\!\left(\frac{i-z}{i+z}\right).
Agora isolamos w:
w=-\frac{i}{2}\log\!\left(\frac{i-z}{i+z}\right).
Para obter a forma solicitada trocamos o sinal dentro do log usando a propriedade \log(a^{-1})=-\log(a). Observamos que
\log\!\left(\frac{i-z}{i+z}\right)=-\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right),
portanto
w=-\frac{i}{2}\big(-\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right)\big)=\frac{i}{2}\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right).
Assim chegamos à fórmula desejada (com a observação de que os pontos z=\pm i são singulares porque anulam denominadores e o logcomplexo precisa escolher ramo):
\operatorname{arctg}z=\frac{i}{2}\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right).

Passo 6

Um comentário prático sobre domínio e ramo: a identidade acima vale para valores de z tais que i\pm z\neq 0 (ou seja, z\neq\pm i) e tomando-se um ramo apropriado do logaritmo complexo para definir \operatorname{arctg}z de forma contínua na região desejada. Em provas, normalmente basta indicar que estamos usando o logaritmo complexo principal e excluir z=\pm i.

Passo 7

Agora vamos derivar \operatorname{arctg}z. Partimos da expressão obtida:
\operatorname{arctg}z=\frac{i}{2}\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right).
Usamos a regra da derivada do log (cadeia): para uma função F(z)=\log g(z) temos F'(z)=\dfrac{g'(z)}{g(z)}, e também que \log\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\log A-\log B. Portanto
\frac{d}{dz}\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right) =\frac{d}{dz}\log(i+z)-\frac{d}{dz}\log(i-z).
Calculamos cada derivada (derivada de \log simples):
\frac{d}{dz}\log(i+z)=\frac{1}{i+z},\qquad \frac{d}{dz}\log(i-z)=-\frac{1}{i-z}.
Logo
\frac{d}{dz}\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right) =\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z}.

Passo 8

Fazemos a soma com denominador comum:
\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z} =\frac{(i-z)+(i+z)}{(i+z)(i-z)} =\frac{2i}{i^2-z^2}.
Como i^2=-1, temos i^2-z^2=-1-z^2=-(1+z^2). Portanto
\frac{1}{i+z}+\frac{1}{i-z}=\frac{2i}{-(1+z^2)}=-\frac{2i}{1+z^2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{i}{2} que estava à frente do log:
\left(\operatorname{arctg}z\right)'=\frac{i}{2}\cdot\left(-\frac{2i}{1+z^2}\right) =\frac{1}{1+z^2},
usando i\cdot(-i)= -i^2=1. Esta é a derivada buscada, válida onde a função é analítica (novamente excluindo z=\pm i e eventuais cortes do log).

Passo 9

Como verificação rápida e intuitiva (útil para prova): da identidade \tan(\operatorname{arctg}z)=z podemos derivar implicitamente. Se w=\operatorname{arctg}z então \tan w=z. Derivando ambos os lados em relação a z e usando a regra da cadeia:
\operatorname{sec}^2 w\cdot w' = 1.
Como \operatorname{sec}^2 w=1+\tan^2 w e \tan w=z, obtemos
w'=\frac{1}{1+\tan^2 w}=\frac{1}{1+z^2},
mesmo resultado, e esta é uma forma curta e elegante de lembrar a derivada.

Resposta

\operatorname{arctg}z=\dfrac{i}{2}\log\!\left(\dfrac{i+z}{i-z}\right)\n (\operatorname{arctg}z)^{\prime}=\dfrac{1}{1+z^{2}}

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