Mostre que a sequência dada é convergente:
d) \left(\cos \left(\frac{n+4}{n+5}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(\cos\bigl(\tfrac{n+4}{\,n+5\,}\bigr)\bigr)_{n\in\mathbb{N}} e pede para mostrar que ela converge. Vamos usar que
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\tfrac{n+4}{n+5}=1.
  2. A função \cos x é contínua em \mathbb{R} e satisfaz a desigualdade
|\cos x-\cos y|\le |x-y|.

Passo 2

Calcular o limite do termo interno:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+4}{n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{4}{n}}{1+\tfrac{5}{n}} =\frac{1+0}{1+0}=1.

Passo 3

Prova \varepsilon- \delta: seja \varepsilon>0. Como
\Bigl|\cos\bigl(\tfrac{n+4}{n+5}\bigr)-\cos(1)\Bigr| \le \Bigl|\tfrac{n+4}{n+5}-1\Bigr| =\frac{1}{n+5},
basta escolher N\in\mathbb{N} tal que N+5>1/\varepsilon. Assim, para todo n\ge N temos
\bigl|\cos(\tfrac{n+4}{n+5})-\cos(1)\bigr|\le\frac{1}{n+5}\le\frac{1}{N+5}<\varepsilon.

Passo 4

Portanto,
\lim_{n\to\infty}\cos\bigl(\tfrac{n+4}{n+5}\bigr)=\cos(1),
e a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge para \cos(1).

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