Investigue a convergência da série do exercício anterior,
. Para isso, encontre uma fórmula para a sua n-ésima soma parcial,
, e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
que é um caso clássico de série telescópica. Vamos (a) encontrar uma expressão fechada para a soma parcial
e em seguida (b) calcular .
e em seguida (b) calcular
Passo 2
Escrevendo os primeiros termos de
e observando o cancelamento, temos
Note que
cancela com
,
com
, e assim por diante, restando apenas
Passo 3
Para ver se a série converge, calculamos
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A soma parcial é
e
. Portanto a série converge e seu valor é
.