Considere o espaço vetorial C([0,1]) formado pelas funções contínuas em f:[0,1] R. Mostre que ||f||=integral0^1|f(x)| d x é uma norma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função $ ||f|| = \int_{0}^{1} |f(x)| , dx $ é uma norma no espaço vetorial $ C([0,1]) $, que é o conjunto de todas as funções contínuas de ||f|| = integral0^1 |f(x)| , dx para C([0,1]) . Basicamente, precisamos verificar se essa função satisfaz as propriedades que definem uma norma. Para isso, vamos precisar entender as três propriedades básicas de uma norma: positividade e definitude, homogeneidade e desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a positividade e definitude. Isso significa que para qualquer função $ f $ em $ C([0,1]) $, a norma $ ||f|| $ deve ser sempre maior ou igual a zero, e $ ||f|| = 0 $ somente se $ f $ for a função zero (ou seja, $ f(x) = 0 $ para todo $ x $ em f ).
Como estamos integrando o valor absoluto de $ f(x) $, que é sempre não negativo, a integral $ \int_{0}^{1} |f(x)| , dx $ também será sempre não negativa. Portanto, $ ||f|| \geq 0 $.
Agora, se $ ||f|| = 0 $, isso implica que $ \int_{0}^{1} |f(x)| , dx = 0 $. A única maneira de uma integral de uma função contínua ser zero é se a própria função for zero em todo o intervalo. Ou seja, $ f(x) = 0 $ para todo $ x $ em C([0,1]) .

Passo 3

Agora, vamos para a homogeneidade. Essa propriedade diz que, para qualquer escalar $ \alpha $ e qualquer função $ f $ em $ C([0,1]) $, a norma de $ \alpha f $ deve ser igual a $ |\alpha| $ vezes a norma de $ f $. Ou seja:
alpha
Aqui, usamos a propriedade do valor absoluto de multiplicação, que permite tirar $ |\alpha| $ de dentro da integral.

Passo 4

Por fim, vamos verificar a desigualdade triangular. Essa propriedade afirma que, para quaisquer duas funções $ f $ e $ g $ em $ C([0,1]) $:
f
Vamos calcular $ ||f + g|| $:
g
Pela desigualdade triangular dos números reais, temos que $ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| $ para todo $ x $. Portanto:
C([0,1])

Resposta

Assim, verificamos que $ ||f|| = \int_{0}^{1} |f(x)| , dx $ satisfaz todas as propriedades de uma norma no espaço $ C([0,1]) $. Portanto, $ ||f|| $ é, de fato, uma norma.

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