- E. Mostre que se uma série de números reais é condicionalmente convergente, então a série de termos positivos é divergente e a série de termos negativos é divergente.
Passo 1
O enunciado dá que existe uma série de números reais
que é condicionalmente convergente. Isso significa que:
- A série
converge (tem soma finita). - A série
diverge (não converge), por isso o termo “condicionalmente” — converge, mas não converge absolutamente.
O que nos pedem: mostrar que a série dos termos positivos diverge e que a série dos termos negativos diverge. Em termos precisos, se definirmos os termos positivos e negativos de cada
por
então devemos provar que as séries de termos não-negativos
são divergentes (como são séries de termos não-negativos, “divergentes” significa que os somatórios parciais tendem a
).
Passo 2
Vou explicar as propriedades básicas dos cortes positivo/negativo que vou usar (é importante entender bem isso):
- Por definição,
e para todo . - Tem-se a decomposição termo a termo
e também
Essas duas identidades são fáceis de verificar caso a caso: se
então
e
; se
então
e
.
Passo 3
Lembrete sobre operações com séries convergentes (ferramenta que vou usar): se
e
convergem (séries com soma finita), então as séries
e
também convergem, e a soma é a soma termo a termo (isto pode ser visto passando para somas parciais e usando limites).
Agora começo a prova por contradição para cada uma das duas séries pedidas.
Passo 4
Prova de que
diverge.
Suponha, por contradição, que
converge (tem soma finita). Sabemos que
converge (hipótese). Então, aplicando a linearidade de séries convergentes, a série
também converge (diferença de duas séries convergentes). Como
, isso significa que
converge para algum número finito.
Mas então, usando
, teríamos
que seria soma de duas séries convergentes, logo convergente — isso contradiz a hipótese de que
diverge (porque a série é condicionalmente convergente). Portanto a suposição de que
converge é falsa, e concluímos que
Passo 5
Prova de que
diverge.
O argumento é totalmente análogo trocando papéis. Suponha que
converge. Como
converge, pela linearidade temos
ou seja,
também convergiria. Novamente, então
seria soma de duas séries convergentes, portanto convergente, contradizendo a hipótese de
divergente. Logo a suposição é falsa e
Passo 6
Observação final sobre o tipo de divergência: como
e
para todo
, o fato de
e
não convergirem a um número finito implica que as suas somas parciais são monótonas não decrescentes e não estão limitadas acima; portanto divergem para
. Ou seja, ambas as séries divergem no sentido clássico para séries de termos não-negativos.
Resposta
As séries
e
divergem (cada uma tende a
).