Utilizando frações parciais, mostre que
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma identidade envolvendo uma soma do tipo
usando frações parciais. As informações dadas são:
- Existe um parâmetro
. - Está sendo considerada a soma dos termos da forma
com variando a partir de .
O objetivo que vou demonstrar (interpretando que o que se quer é a soma atée, em seguida, o caso quando ) é:
e, tomando
com
,
Passo 2
Vou decompor um termo genérico em frações parciais. Seja
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para determinar
e
podemos escolher valores de
que anulam fatores:
- Se
(formalmente), a identidade dá , logo . - Se
, dá , logo .
Portanto a decomposição é
Passo 3
Substituo a decomposição na soma finita e faço a soma:
Agora escrevo os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento (telescopagem):
Repare que todos os termos intermediários cancelam em pares:
aparece com sinais opostos, o mesmo para
. Sobram apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Passo 4
Agora tomo o limite quando
. Como
, o denominador
tende a
quando
, portanto
Assim, passando ao limite na expressão do Passo 3,
Isso mostra o que se pedia.
Passo 5
Resumo didático rápido: a ideia é decompor cada termo em duas parcelas simples (frações parciais), ver que a soma desses termos forma uma sequência telescópica onde tudo se cancela exceto as extremidades, e então, se somarmos até infinito com
, a parte final vai a zero e sobra
. Você pode decorar a decomposição comum
que é muito útil para séries telescópicas.