Utilizando frações parciais, mostre que
\sum_{a=0}^{n} \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}=\frac{1}{\alpha} \quad se \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma identidade envolvendo uma soma do tipo \sum_{a=0}^{\cdot} usando frações parciais. As informações dadas são:
  • Existe um parâmetro \alpha>0.
  • Está sendo considerada a soma dos termos da forma \dfrac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)} com a variando a partir de 0.
    O objetivo que vou demonstrar (interpretando que o que se quer é a soma até n e, em seguida, o caso quando n\to\infty) é:
\sum_{a=0}^{n} \frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha+n+1},
e, tomando n\to\infty com \alpha>0,
\sum_{a=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{1}{\alpha}.

Passo 2

Vou decompor um termo genérico em frações parciais. Seja
t_a=\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{A}{\alpha+a}+\frac{B}{\alpha+a+1}.
Multiplicando ambos os lados por (\alpha+a)(\alpha+a+1) obtemos a identidade
1 = A(\alpha+a+1)+B(\alpha+a).
Para determinar A e B podemos escolher valores de a que anulam fatores:
  • Se a=-\alpha (formalmente), a identidade dá 1 = A\cdot 1 + B\cdot 0, logo A=1.
  • Se a=-\alpha-1, dá 1 = A\cdot 0 + B\cdot 1, logo B=-1.
    Portanto a decomposição é
\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{1}{\alpha+a}-\frac{1}{\alpha+a+1}.

Passo 3

Substituo a decomposição na soma finita e faço a soma:
\sum_{a=0}^{n}\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)} =\sum_{a=0}^{n}\left(\frac{1}{\alpha+a}-\frac{1}{\alpha+a+1}\right).
Agora escrevo os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento (telescopagem):
\left(\frac{1}{\alpha+0}-\frac{1}{\alpha+1}\right) +\left(\frac{1}{\alpha+1}-\frac{1}{\alpha+2}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{\alpha+n}-\frac{1}{\alpha+n+1}\right).
Repare que todos os termos intermediários cancelam em pares: \frac{1}{\alpha+1} aparece com sinais opostos, o mesmo para \frac{1}{\alpha+2},\dots,\frac{1}{\alpha+n}. Sobram apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
\sum_{a=0}^{n}\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)} =\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha+n+1}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como \alpha>0, o denominador \alpha+n+1 tende a +\infty quando n\to\infty, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\alpha+n+1}=0.
Assim, passando ao limite na expressão do Passo 3,
\sum_{a=0}^{\infty}\frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)} =\frac{1}{\alpha}-0=\frac{1}{\alpha}.
Isso mostra o que se pedia.

Passo 5

Resumo didático rápido: a ideia é decompor cada termo em duas parcelas simples (frações parciais), ver que a soma desses termos forma uma sequência telescópica onde tudo se cancela exceto as extremidades, e então, se somarmos até infinito com \alpha>0, a parte final vai a zero e sobra \dfrac{1}{\alpha}. Você pode decorar a decomposição comum
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},
que é muito útil para séries telescópicas.

Resposta

\sum_{a=0}^{n} \frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha+n+1}
\sum_{a=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+a)(\alpha+a+1)}=\frac{1}{\alpha}\quad(\alpha>0)

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