Mostre que a série geométrica
converge para
se
e que é divergente em caso contrário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série geométrica
converge para
quando
e que ela diverge em qualquer outro caso. O conteúdo aqui é séries infinitas: vamos usar soma parcial e limites de sequências.
Passo 2
Definimos a soma parcial
Multiplicando essa identidade por
e observando o cancelamento telescópico, temos
Passo 3
Isolando
, obtemos a expressão fechada da soma parcial:
Passo 4
Quando
, a propriedade de limites de potências nos diz que
Logo, tomando limite em
na expressão de
, vem
o que prova a convergência para
quando
.
Passo 5
Se
, a série diverge, pois:
Resposta
A série
sumn=0^inftyr^n converge para
11-r se
lvert rrvert<1 e diverge em qualquer outro caso.