Mostre que a série geométrica sumn=0^infty r^n converge para 11-r se |r|<1 e que é divergente em caso contrário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série geométrica
sumn=0^inftyr^n
converge para tfrac11-r quando lvert rrvert<1 e que ela diverge em qualquer outro caso. O conteúdo aqui é séries infinitas: vamos usar soma parcial e limites de sequências.

Passo 2

Definimos a soma parcial
SN = sumn=0^Nr^n = 1 + r + r^2 + cdots + r^N
Multiplicando essa identidade por (1-r) e observando o cancelamento telescópico, temos
(1-r)SN = (1 + r + cdots + r^N) - (r + r^2 + cdots + r^N+1) = 1 - r^N+1

Passo 3

Isolando SN, obtemos a expressão fechada da soma parcial:
SN = 1 - r^N+11 - r

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a propriedade de limites de potências nos diz que
limNtoinftyr^N+1 = 0
Logo, tomando limite em Ntoinfty na expressão de SN, vem
limNtoinftySN = limNtoinfty1 - r^N+11 - r = 11-r,
o que prova a convergência para tfrac11-r quando lvert rrvert<1.

Passo 5

Se lvert rrvert>=1, a série diverge, pois:
r=1: & SN = N+1toinfty, r=-1: & SN oscila entre 1 e 0 (sem limite), lvert rrvert>1: & lvert r^N+1rverttoinftyimplies SN não tem limite finito ã

Resposta

A série sumn=0^inftyr^n converge para 11-r se lvert rrvert<1 e diverge em qualquer outro caso.

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