Sejam u e v vetores.
(a) Usando as propriedades do produto interno, mostre que
(u+v) cdot(u+v)=u cdot u+2(u cdot v)+v cdot v
(b) Usando as propriedades do produto interno, mostre que
(u-v) cdot(u-v)=u cdot u-2(u cdot v)+v cdot v
(c) Utilize os itens (a) e (b) para concluir que
(u+v) cdot(u+v)+(u-v) cdot(u-v)=2(u cdot u)+2(v cdot v)
(d) Utilize os itens (a) e (b) para concluir que
(u+v) cdot(u+v)-(u-v) cdot(u-v)=4(u cdot v)

Passo 1

O enunciado pede para provar quatro identidades envolvendo o produto interno de vetores, usando apenas as propriedades de bilinearidade (distributividade em cada argumento) e simetria. Em particular, vamos usar que para quaisquer vetores a,b,c vale
(a+b)cdotc=acdotc+bcdotc, ccdot(a+b)=ccdota+ccdotb,
e
acdotb=bcdota

Passo 2

Prova da parte (a). Começamos expandindo
(u+v)cdot(u+v) =underbrace(u+v)cdotu=ucdotu+vcdotu +underbrace(u+v)cdotv=ucdotv+vcdotv
Pelo teorema de distributividade e simetria, isso fica
ucdotu + vcdotu + ucdotv + vcdotv = ucdotu + 2(ucdotv) + vcdotv

Passo 3

Prova da parte (b). De modo análogo,
(u-v)cdot(u-v) =underbrace(u-v)cdotu=ucdotu-vcdotu -underbrace(u-v)cdotv=ucdotv-vcdotv,
que, usando simetria em vcdotu e distribuindo o sinal, dá
ucdotu-vcdotu-ucdotv+vcdotv = ucdotu - 2(ucdotv) + vcdotv

Passo 4

Prova da parte (c). Basta somar termo a termo as expressões de (a) e de (b):
(u+v)cdot(u+v) + (u-v)cdot(u-v) = l(ucdotu+2ucdotv+vcdotvr) + l(ucdotu-2ucdotv+vcdotvr)
Os 2ucdotv se cancelam, sobrando
2(ucdotu) + 2(vcdotv)

Passo 5

Prova da parte (d). Agora subtraímos a expressão de (b) da de (a):
(u+v)cdot(u+v) - (u-v)cdot(u-v) = l(ucdotu+2ucdotv+vcdotvr) - l(ucdotu-2ucdotv+vcdotvr)
Dessa diferença vêm 4(ucdotv).

Resposta

(a) (u+v)cdot(u+v)=ucdotu+2(ucdotv)+vcdotv
(b) (u-v)cdot(u-v)=ucdotu-2(ucdotv)+vcdotv
(c) (u+v)cdot(u+v)+(u-v)cdot(u-v)=2(ucdotu)+2(vcdotv)
(d) (u+v)cdot(u+v)-(u-v)cdot(u-v)=4(ucdotv)

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