1. E. Mostre que se uma série de números reais é condicionalmente convergente, então a série de termos positivos é divergente e a série de termos negativos é divergente.

Passo 1

O enunciado dá que existe uma série de números reais \sum a_n que é condicionalmente convergente. Isso significa que:
  • A série \displaystyle\sum a_n converge (tem soma finita).
  • A série \displaystyle\sum |a_n| diverge (não converge), por isso o termo “condicionalmente” — converge, mas não converge absolutamente.
O que nos pedem: mostrar que a série dos termos positivos diverge e que a série dos termos negativos diverge. Em termos precisos, se definirmos os termos positivos e negativos de cada a_n por
a_n^+ := \max\{a_n,0\},\qquad a_n^- := \max\{-a_n,0\},
então devemos provar que as séries de termos não-negativos
\sum a_n^+ \quad\text{e}\quad \sum a_n^-
são divergentes (como são séries de termos não-negativos, “divergentes” significa que os somatórios parciais tendem a +\infty).

Passo 2

Vou explicar as propriedades básicas dos cortes positivo/negativo que vou usar (é importante entender bem isso):
  • Por definição, a_n^+\ge0 e a_n^-\ge0 para todo n.
  • Tem-se a decomposição termo a termo
a_n = a_n^+ - a_n^-
e também
|a_n| = a_n^+ + a_n^-.
Essas duas identidades são fáceis de verificar caso a caso: se a_n\ge0 então a_n^+=a_n e a_n^-=0; se a_n<0 então a_n^+=0 e a_n^-=-a_n.

Passo 3

Lembrete sobre operações com séries convergentes (ferramenta que vou usar): se \sum x_n e \sum y_n convergem (séries com soma finita), então as séries \sum (x_n+y_n) e \sum (x_n-y_n) também convergem, e a soma é a soma termo a termo (isto pode ser visto passando para somas parciais e usando limites).
Agora começo a prova por contradição para cada uma das duas séries pedidas.

Passo 4

Prova de que \displaystyle\sum a_n^+ diverge.
Suponha, por contradição, que \displaystyle\sum a_n^+ converge (tem soma finita). Sabemos que \displaystyle\sum a_n converge (hipótese). Então, aplicando a linearidade de séries convergentes, a série
\sum a_n^- = \sum (a_n^+ - a_n) = \sum a_n^+ - \sum a_n
também converge (diferença de duas séries convergentes). Como a_n^-\ge0, isso significa que \sum a_n^- converge para algum número finito.
Mas então, usando |a_n| = a_n^+ + a_n^-, teríamos
\sum |a_n| = \sum a_n^+ + \sum a_n^-,
que seria soma de duas séries convergentes, logo convergente — isso contradiz a hipótese de que \sum |a_n| diverge (porque a série é condicionalmente convergente). Portanto a suposição de que \sum a_n^+ converge é falsa, e concluímos que
\sum a_n^+ \quad\text{diverge.}

Passo 5

Prova de que \displaystyle\sum a_n^- diverge.
O argumento é totalmente análogo trocando papéis. Suponha que \displaystyle\sum a_n^- converge. Como \displaystyle\sum a_n converge, pela linearidade temos
\sum a_n^+ = \sum (a_n + a_n^-) = \sum a_n + \sum a_n^-,
ou seja, \sum a_n^+ também convergiria. Novamente, então \sum |a_n| = \sum a_n^+ + \sum a_n^- seria soma de duas séries convergentes, portanto convergente, contradizendo a hipótese de \sum |a_n| divergente. Logo a suposição é falsa e
\sum a_n^- \quad\text{diverge.}

Passo 6

Observação final sobre o tipo de divergência: como a_n^+\ge0 e a_n^-\ge0 para todo n, o fato de \sum a_n^+ e \sum a_n^- não convergirem a um número finito implica que as suas somas parciais são monótonas não decrescentes e não estão limitadas acima; portanto divergem para +\infty. Ou seja, ambas as séries divergem no sentido clássico para séries de termos não-negativos.

Resposta

As séries \displaystyle\sum a_n^+ e \displaystyle\sum a_n^- divergem (cada uma tende a +\infty).

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