- H. Se
é convergente e
, então
é convergente?
Passo 1
O enunciado dá que a série
é convergente e que
para todo
. A pergunta é: a série
também necessariamente converge?
Informações relevantes dadas:
-
converge (ou seja, os somatórios parciais têm limite finito quando ). -
para todo . - Quer-se saber a convergência de
.
Passo 2
Vou usar uma desigualdade clássica entre média aritmética e geométrica (AM-GM). Ela diz, para quaisquer números não negativos
e
,
Explicando por que isso vale: considere
. Expandindo,
e daí vem a desigualdade acima. Aqui
e
serão
e
.
Passo 3
Aplicando AM-GM aos termos
e
(ambos não negativos), obtemos, para todo
,
Somando essa desigualdade para
obtemos
Passo 4
Faço a troca de índices na segunda soma:
. Então
Denotando
e sabendo que
converge para algum
, temos
e
para todo
. Portanto, para todo
,
Passo 5
Conclusão a partir do que foi obtido: os somatórios parciais
são uma sequência monótona crescente (porque os termos são não negativos) e estão uniformemente limitados por
. Uma sequência monótona e limitada converge, logo a série
converge. Alternativamente, pode-se dizer que
é majorada termo a termo por uma soma de duas séries convergentes e, por comparação, a série em questão converge.
Resposta
Sim. A série
converge.