1. H. Se \Sigma\left(a_{n}\right) é convergente e a_{n} \geq 0, então \Sigma\left(\sqrt{a_{n} a_{n+1}}\right) é convergente?

Passo 1

O enunciado dá que a série \sum a_n é convergente e que a_n \ge 0 para todo n. A pergunta é: a série \sum \sqrt{a_n a_{n+1}} também necessariamente converge?
Informações relevantes dadas:
  • \sum a_n converge (ou seja, os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n têm limite finito quando N\to\infty).
  • a_n \ge 0 para todo n.
  • Quer-se saber a convergência de \sum \sqrt{a_n a_{n+1}}.

Passo 2

Vou usar uma desigualdade clássica entre média aritmética e geométrica (AM-GM). Ela diz, para quaisquer números não negativos x e y,
\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}.
Explicando por que isso vale: considere (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge 0. Expandindo,
x-2\sqrt{xy}+y\ge 0 \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{xy}\le x+y,
e daí vem a desigualdade acima. Aqui x e y serão a_n e a_{n+1}.

Passo 3

Aplicando AM-GM aos termos a_n e a_{n+1} (ambos não negativos), obtemos, para todo n,
\sqrt{a_n a_{n+1}}\le \frac{a_n+a_{n+1}}{2}.
Somando essa desigualdade para n=1,2,\dots,N obtemos
\sum_{n=1}^N \sqrt{a_n a_{n+1}} \le \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N (a_n+a_{n+1}) = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^N a_n + \sum_{n=1}^N a_{n+1}\right).

Passo 4

Faço a troca de índices na segunda soma: \sum_{n=1}^N a_{n+1}=\sum_{n=2}^{N+1} a_n. Então
\sum_{n=1}^N \sqrt{a_n a_{n+1}} \le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^N a_n + \sum_{n=2}^{N+1} a_n\right) = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{N+1} a_n + \sum_{n=1}^{N} a_n - a_1\right).
Denotando S_N=\sum_{n=1}^N a_n e sabendo que \sum a_n converge para algum S<\infty, temos S_N\le S e S_{N+1}\le S para todo N. Portanto, para todo N,
\sum_{n=1}^N \sqrt{a_n a_{n+1}} \le \frac{1}{2}\left(S_{N+1}+S_N-a_1\right)\le \frac{1}{2}\left(S+S-a_1\right)=S-\frac{a_1}{2}<\infty.

Passo 5

Conclusão a partir do que foi obtido: os somatórios parciais \sum_{n=1}^N \sqrt{a_n a_{n+1}} são uma sequência monótona crescente (porque os termos são não negativos) e estão uniformemente limitados por S-\tfrac{a_1}{2}. Uma sequência monótona e limitada converge, logo a série \sum \sqrt{a_n a_{n+1}} converge. Alternativamente, pode-se dizer que \sqrt{a_n a_{n+1}} é majorada termo a termo por uma soma de duas séries convergentes e, por comparação, a série em questão converge.

Resposta

Sim. A série \sum \sqrt{a_n a_{n+1}} converge.

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