Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}} é convergente
(c) Usando o teste da integral

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}} é convergente usando o teste da integral. As informações dadas são:
  • A sequência dos termos gerais é a_n=\dfrac{n^{2}}{e^{n}} para n=1,2,\dots.
  • Deve-se aplicar o teste da integral (isto é, comparar a série com uma integral impropria de uma função apropriada).

Passo 2

Enunciado do teste da integral (explicado de modo simples):
Seja f:(1,\infty)\to(0,\infty) uma função contínua, positiva e monotonicamente decrescente a partir de algum ponto, e defina a_n=f(n). Então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral impropria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (é finita). Em palavras: para séries com termos positivos e que vêm de uma função decrescente, somatório e integral têm o mesmo comportamento de convergência. É preciso verificar as hipóteses (positividade, continuidade e decrescimento eventual) e calcular a integral.

Passo 3

Escolhemos a função natural associada aos termos:
f(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}=x^{2}e^{-x},\qquad x\ge 1.
Verificações das hipóteses do teste:
  • Positividade: para x\ge1 tem x^{2}>0 e e^{x}>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é produto de funções contínuas em [1,\infty), portanto contínua.
  • Monotonicidade (decrescente a partir de algum ponto): calculemos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{-x}\big)=e^{-x}\big(2x-x^{2}\big)=e^{-x}x(2-x).
Como e^{-x}>0 e x>0 para x\ge1, o sinal de f'(x) é o de (2-x). Assim f'(x)\le 0 para todo x\ge 2. Ou seja, f é decrescente em [2,\infty). Isso basta para aplicar o teste da integral, pois apenas é necessário que f seja decrescente a partir de algum X_0 (os primeiros termos finitos não afetam a convergência).

Passo 4

Agora calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx.
Fazemos integração por partes para encontrar uma antiderivada. Primeiro,
seja u=x^{2} e dv=e^{-x}dx. Então du=2x\,dx e v=-e^{-x}. Portanto
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + \int 2x e^{-x}\,dx.
Para a integral \int 2x e^{-x}\,dx fazemos outra integração por partes: tome u=2x, dv=e^{-x}dx, então du=2\,dx e v=-e^{-x}. Assim
\int 2x e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} + \int 2 e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C.
Juntando os resultados:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C = -e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big)+C.

Passo 5

Avaliar a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big)\right]_{x=1}^{x=b}.
Isto é
\lim_{b\to\infty}\left(-e^{-b}(b^{2}+2b+2)\right)-\left(-e^{-1}(1^{2}+2\cdot1+2)\right).
Precisamos mostrar que \displaystyle \lim_{b\to\infty} e^{-b}(b^{2}+2b+2)=0. Observe que
e^{-b}(b^{2}+2b+2)=\frac{b^{2}+2b+2}{e^{b}}.
Usando a regra de L’Hôpital (duas vezes) para \dfrac{b^{2}}{e^{b}}, tem-se
\lim_{b\to\infty}\frac{b^{2}}{e^{b}}=\lim_{b\to\infty}\frac{2b}{e^{b}}=\lim_{b\to\infty}\frac{2}{e^{b}}=0,
e termos de ordem menor (como b ou constante) também tendem a zero quando divididos por e^{b}. Logo
\lim_{b\to\infty} e^{-b}(b^{2}+2b+2)=0.
Portanto a integral vale
\int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = 0 -\big(-e^{-1}(1+2+2)\big)=\frac{5}{e},
que é finita.

Passo 6

Conclusão pelo teste da integral: como f(x)=x^{2}e^{-x} é positiva, contínua e decrescente a partir de x=2, e a integral impropria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \tfrac{5}{e}), o teste da integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}}
converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{2}}{e^{n}} é convergente.

Exercícios relacionados