Mostre que a série
é convergente
(c) Usando o teste da integral
(c) Usando o teste da integral
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente usando o teste da integral. As informações dadas são:
- A sequência dos termos gerais é
para . - Deve-se aplicar o teste da integral (isto é, comparar a série com uma integral impropria de uma função apropriada).
Passo 2
Enunciado do teste da integral (explicado de modo simples):
Seja uma função contínua, positiva e monotonicamente decrescente a partir de algum ponto, e defina
. Então a série
converge se, e somente se, a integral impropria
Seja
converge (é finita). Em palavras: para séries com termos positivos e que vêm de uma função decrescente, somatório e integral têm o mesmo comportamento de convergência. É preciso verificar as hipóteses (positividade, continuidade e decrescimento eventual) e calcular a integral.
Passo 3
Escolhemos a função natural associada aos termos:
Verificações das hipóteses do teste:
- Positividade: para
tem e , logo . - Continuidade:
é produto de funções contínuas em , portanto contínua. - Monotonicidade (decrescente a partir de algum ponto): calculemos a derivada
Como
e
para
, o sinal de
é o de
. Assim
para todo
. Ou seja,
é decrescente em
. Isso basta para aplicar o teste da integral, pois apenas é necessário que
seja decrescente a partir de algum
(os primeiros termos finitos não afetam a convergência).
Passo 4
Agora calculamos a integral imprópria
Fazemos integração por partes para encontrar uma antiderivada. Primeiro,
seja e
. Então
e
. Portanto
seja
Para a integral
fazemos outra integração por partes: tome
,
, então
e
. Assim
Juntando os resultados:
Passo 5
Avaliar a integral imprópria como limite:
Isto é
Precisamos mostrar que
. Observe que
Usando a regra de L’Hôpital (duas vezes) para
, tem-se
e termos de ordem menor (como
ou constante) também tendem a zero quando divididos por
. Logo
Portanto a integral vale
que é finita.
Passo 6
Conclusão pelo teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente a partir de
, e a integral impropria
converge (vale
), o teste da integral garante que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.