Mostre que a série
é convergente
(a) Usando o teste da raíz
(a) Usando o teste da raíz
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para mostrar que ela é convergente usando o teste da raiz. Informações relevantes:
- O termo geral é
. - Deve-se aplicar o teste da raiz (ou seja, calcular
e comparar com ).
Passo 2
Vou enunciar o teste da raiz de forma curta e prática (essa é a ferramenta que vamos usar).
- Se
, então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular a raiz
-ésima do termo geral. Usando propriedades de potências e radicais:
Passo 4
Para aplicar o teste precisamos do limite de
quando
. Ou seja, avaliar
Logo é suficiente achar
.
Passo 5
Calcular
. Escreve-se em termos de exponencial para facilitar:
Então temos que estudar
. Considerando a função contínua
para
e aplicando L’Hôpital (ou sabendo que
cresce muito mais devagar que
):
Portanto
, e assim
Passo 6
Voltando ao limite da raiz:
Como
, o teste da raiz garante que a série
converge (na verdade converge absolutamente).
Resposta
A série
converge (pelo teste da raiz, pois
).