Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}} é convergente
(a) Usando o teste da raíz

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{2}}{e^{n}} e pede para mostrar que ela é convergente usando o teste da raiz. Informações relevantes:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{e^{n}}.
  • Deve-se aplicar o teste da raiz (ou seja, calcular \displaystyle L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} e comparar com 1).

Passo 2

Vou enunciar o teste da raiz de forma curta e prática (essa é a ferramenta que vamos usar).
  • Se \displaystyle L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se \displaystyle L>1, então a série diverge.
  • Se \displaystyle L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular a raiz n-ésima do termo geral. Usando propriedades de potências e radicais:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\dfrac{n^{2}}{e^{n}}} =\dfrac{\sqrt[n]{n^{2}}}{\sqrt[n]{e^{n}}} =\dfrac{n^{2/n}}{e}.

Passo 4

Para aplicar o teste precisamos do limite de \sqrt[n]{a_n} quando n\to\infty. Ou seja, avaliar
\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2/n}}{e}=\dfrac{1}{e}\lim_{n\to\infty}n^{2/n}.
Logo é suficiente achar \lim_{n\to\infty}n^{2/n}.

Passo 5

Calcular \lim_{n\to\infty}n^{2/n}. Escreve-se em termos de exponencial para facilitar:
n^{2/n}=e^{\frac{2}{n}\ln n}.
Então temos que estudar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}. Considerando a função contínua x\mapsto\frac{\ln x}{x} para x>0 e aplicando L’Hôpital (ou sabendo que \ln x cresce muito mais devagar que x):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0, e assim
\lim_{n\to\infty}n^{2/n}=e^{2\cdot 0}=1.

Passo 6

Voltando ao limite da raiz:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{e}\lim_{n\to\infty}n^{2/n}=\dfrac{1}{e}\cdot 1=\dfrac{1}{e}.
Como \dfrac{1}{e}<1, o teste da raiz garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{e^{n}} converge (na verdade converge absolutamente).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{e^{n}} converge (pelo teste da raiz, pois \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{e}<1).

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