Lista 2
Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e , se convergir, determine o limite.
(d) a_{n}=\sqrt[3]{n}.
(b) a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n}.
( a_{n}=\sin \frac{\pi}{5 n}.
(d) a_{n}=10^{10^{10}} \frac{\sqrt{n}}{n+1}.
(e) a_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}+10^{10}}.
(b) a_{n}=\frac{\sqrt{n+2}}{2 \sqrt{n}}.
(g) a_{n}=\ln (n+1)-\ln n.
(h) a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{4 n^{4}+5}}.
(i) a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
(d) a_{n}=\cos n \pi.
(X) a_{n}=\cos \frac{(2 n+1) \pi}{2}.
(l) a_{n}=\frac{5 n^{3}-2 n}{n^{4}+3 n^{2}-10}.
(m) a_{n}=n^{(-1)^{n}}.
(n) a_{n}=\frac{\sqrt{n} \sin \left(n!e^{n}\right)}{n+1}.
(o) a_{n}=n \sin \frac{\pi}{n}.
§ a_{n}=\frac{(2-\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}{4 n+5}.
Passo 1
O que o enunciado pede: para cada sequência dada, estabelecer se ela converge ou diverge e, quando convergir, determinar o limite. As sequências fornecidas (vou listá‑las exatamente como vieram) são:
No passo seguinte começo a resolver cada uma, explicando as ideias e resultados usados.
Passo 2
Ferramentas e ideias que vou usar (curtinho e prático, com explicações):
Se uma sequência \,b_n\to 0 e \,c_n é limitada (isto é |c_n|\le M para todo n), então \,b_n c_n\to 0. Isto é o Teorema do Confronto / Squeeze aplicado em produtos: porque |b_n c_n|\le M|b_n| e |b_n|\to 0.
Para razões de polinômios: se \deg(\text{num})<\deg(\text{den}) então a razão tende a 0; se graus iguais, o limite é razão dos coeficientes principais; se \deg(\text{num})>\deg(\text{den}) então o valor absoluto tende a \infty (quando sinais positivos, tende a +\infty).
Pequeno ângulo em funções trigonométricas: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Logo para x pequeno \sin x\approx x.
Sequências que alternam entre dois subvalores diferentes (ou têm duas sub‑sequências com limites distintos) não convergem.
Vou aplicar essas ideias passo a passo nas sequências.
Passo 3
\displaystyle a_n=\sqrt[3]{n}.
Explicação: \sqrt[3]{n} cresce quando n cresce sem limite superior. Em termos de limite, para cada M>0 existe N tal que para n\ge N temos \sqrt[3]{n}>M. Portanto a sequência não tem limite finito; dizemos que diverge para +\infty.
Conclusão: diverge (tende a +\infty).
Passo 4
\displaystyle a_n=\frac{1+(-1)^{n}}{n}.
Observação sobre o numerador: se n é par então (-1)^n=1 e 1+(-1)^n=2; se n é ímpar então 1+(-1)^n=0. Assim os termos são a_n=2/n para n par e a_n=0 para n ímpar.
Como \lim_{n\to\infty}2/n=0 e a subsequência ímpar já é 0, todas as subsequências convergem para 0. Logo a sequência inteira converge para 0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 5
\displaystyle a_n=\sin\frac{\pi}{5n}.
Aqui o argumento do seno tende a 0 quando n\to\infty. Usando que \sin x\to 0 quando x\to 0 (ou mais precisamente \sin x\sim x), temos diretamente \sin\frac{\pi}{5n}\to 0.
Alternativamente: \left|\sin\frac{\pi}{5n}\right|\le \left|\frac{\pi}{5n}\right| e o lado direito vai a 0, então por confronto o seno vai a 0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1/n}=1, segue que \frac{\sqrt{n}}{n+1}\to 0. Pelo produto com constante finita C temos C\cdot 0=0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 7
\displaystyle a_n=\frac{3^{n}}{2^{n}+10^{10}}.
Para n grande, 2^{n} e 3^{n} dominam constantes fixas, então compareos as potências: dividir numerador e denominador por 2^{n},
Como \displaystyle\frac{2}{n}\to 0, temos \sqrt{1+\frac{2}{n}}\to 1. Então a_n\to \frac{1}{2}.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac{1}{2}.
Passo 9
\displaystyle a_n=\ln(n+1)-\ln n.
Usar identidade: \ln(n+1)-\ln n=\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big). Para small x, \ln(1+x)\sim x. Assim
\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)\to 0
quando n\to\infty porque \tfrac{1}{n}\to 0. Também por desigualdade \ln(1+x)\le x para x>-1, então 0\le \ln(1+1/n)\le 1/n e 1/n\to 0; pelo confronto o logaritmo tende a 0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 10
\displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{\sqrt{4n^{4}+5}}.
Divido numerador e denominador por n^{2}:
a_n=\frac{1}{\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}}.
Como \frac{5}{n^{4}}\to 0, o denominador dentro da raiz tende a 4, portanto a_n\to 1/\sqrt{4}=1/2.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac{1}{2}.
Passo 11
\displaystyle a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Calculo explícito:
a_n=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.
Como n(n+1)\to\infty, temos a_n\to 0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 12
\displaystyle a_n=\cos n\pi.
Usar identidade: \cos n\pi=\cos(\pi n)=(-1)^n. Então os termos alternam 1,-1,1,-1,\dots. Há duas subsequências com limites distintos (1 e -1), portanto a sequência não converge (não existe limite).
Conclusão: diverge (oscila entre 1 e -1, sem limite).
Passo 13
\displaystyle a_n=\cos\frac{(2n+1)\pi}{2}.
Evaluate trigonometrically: \frac{(2n+1)\pi}{2}=\pi\big(n+\tfrac{1}{2}\big)=\pi n+\tfrac{\pi}{2}. Então
Comparar graus: grau do numerador =3, grau do denominador =4. Como grau do denominador é maior, o quociente tende a 0. Formalmente dividir por n^{4} dá limite 0.
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 15
\displaystyle a_n=n^{(-1)^{n}}.
Analisar subsequências:
Se n é par então (-1)^n=1 e a_n=n^{1}=n, que tende a +\infty.
Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e a_n=n^{-1}=1/n, que tende a 0.
Como duas subsequências têm limites diferentes (+\infty e 0), a sequência inteira não converge. Além disso seus termos não se aproximam de um único número.
Conclusão: diverge (não tem limite; alterna entre valores que vão para +\infty e para 0).
E como \frac{\sqrt{n}}{n+1}\sim \frac{1}{\sqrt{n}}\to 0, pelo confronto obtemos a_n\to 0. (Não é necessário entender o comportamento de \sin(n!e^n) em detalhe; a desigualdade basta.)
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 17
\displaystyle a_n=n\sin\frac{\pi}{n}.
Usando o limite fundamental \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1: substitua x=\frac{\pi}{n}. Quando n\to\infty, x\to 0 e
Mais simples: para n grande o termo dominante do numerador é -n e do denominador é 4n, então o quociente tende a -1/4. Formalmente dividindo numerador e denominador por n dá
Conclusão: converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\tfrac{1}{4}.
Resposta
\displaystyle a_n=\sqrt[3]{n} diverge (tende a +\infty). \displaystyle a_n=\frac{1+(-1)^{n}}{n} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=\sin\frac{\pi}{5n} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=10^{10^{10}}\frac{\sqrt{n}}{n+1} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=\frac{3^{n}}{2^{n}+10^{10}} diverge (tende a +\infty). \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n+2}}{2\sqrt{n}} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac{1}{2}. \displaystyle a_n=\ln(n+1)-\ln n converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{\sqrt{4n^{4}+5}} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac{1}{2}. \displaystyle a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=\cos n\pi diverge (oscila entre 1 e -1; sem limite). \displaystyle a_n=\cos\frac{(2n+1)\pi}{2} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=\frac{5n^{3}-2n}{n^{4}+3n^{2}-10} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=n^{(-1)^{n}} diverge (não tem limite; subsequências com limites distintos). \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}\,\sin\!\big(n!e^{n}\big)}{n+1} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. \displaystyle a_n=n\sin\frac{\pi}{n} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pi. \displaystyle a_n=\frac{(2-\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}{4n+5} converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\tfrac{1}{4}.