Mostre que a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{r}}, converge se r>1 e diverge se r \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o comportamento da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{r}}
ou seja, precisamos responder duas perguntas claras:
  1. Mostrar que a série converge quando r>1.
  2. Mostrar que a série diverge quando r\le 1.
Informações dadas no enunciado:
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral é \dfrac{1}{n(\ln n)^{r}}, com r constante (real).
  • Não há outras condições explícitas; devemos analisar a convergência dependendo do parâmetro r.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o Teste da Integral (Integral Test). Motivo: o termo geral pode ser visto como amostragem de uma função contínua positiva e (eventualmente) decrescente, e transformar a soma em uma integral permite avaliar a convergência por meio de uma integral imprópria mais simples. Esse método é básico, direto e costuma ser usado exatamente para séries com expressão envolvendo \ln n.
O Teste da Integral (enunciado informal): se f:(a,\infty)\to\mathbb{R} é contínua, positiva e decrescente, e a\ge1, então a série \sum_{n=\lceil a\rceil}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_a^{\infty} f(x)\,dx converge.

Passo 3

Definimos a função associada aos termos da série:
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{r}},\qquad x\ge 2.
Vamos verificar as hipóteses do Teste da Integral (continuidade, positividade e decrescimento, pelo menos a partir de algum ponto).
  • Positividade: para x\ge2 temos \ln x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é produto/razão de funções contínuas em x\ge2 (exceto em x=1), portanto é contínua em [2,\infty).
  • Decrescimento eventual: calculemos f'(x) para ver sinal. Usando derivação,
f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-r},
então
f'(x)=-x^{-2}(\ln x)^{-r-1}\bigl(r+\ln x\bigr).
Para x suficientemente grande (por exemplo x\ge \max(2,e^{-r})) temos \ln x>-r, portanto r+\ln x>0, e assim f'(x)<0. Ou seja, f é decrescente a partir de algum X\ge2. Isso é suficiente para aplicar o Teste da Integral (ele exige decrescimento apenas a partir de um índice).
Portanto podemos aplicar o Teste da Integral à série \sum_{n=2}^{\infty} f(n).

Passo 4

Aplicação do Teste da Integral: a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{r}} converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{r}}\,dx
converge. Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Calculemos a integral por substituição. Tomamos a substituição natural \;u=\ln x\;. Então \;du=\dfrac{1}{x}\,dx\;. Quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{r}}\,dx =\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-r}\,du.

Passo 6

Agora analisamos a integral
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-r}\,du.
Trata-se de uma integral do tipo potência. Avaliamos por casos conforme o valor de r:
Caso 1: r\neq 1. Integramos:
\int_{\ln 2}^{T} u^{-r}\,du = \left[\frac{u^{1-r}}{1-r}\right]_{u=\ln 2}^{u=T} = \frac{T^{1-r}-(\ln 2)^{1-r}}{1-r}.
Agora analisamos o limite quando T\to\infty:
  • Se 1-r<0 (ou seja, se r>1), então T^{1-r}\to 0 quando T\to\infty. Assim a integral impropria converge e seu valor é finito:
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-r}\,du = \frac{-(\ln 2)^{1-r}}{1-r} \quad\text{(valor finito)}.
  • Se 1-r>0 (ou seja, se r<1), então T^{1-r}\to\infty quando T\to\infty. Portanto a integral diverge para +\infty.
Caso 2: r=1. A integral fica
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-1}\,du = \left[\ln u\right]_{\ln 2}^{T} = \ln T - \ln(\ln 2),
e esse valor tende a +\infty quando T\to\infty. Logo a integral diverge.

Passo 7

Resumo da análise da integral:
  • Se r>1 então \int_{2}^{\infty}\dfrac{1}{x(\ln x)^{r}}\,dx converge.
  • Se r\le 1 então \int_{2}^{\infty}\dfrac{1}{x(\ln x)^{r}}\,dx diverge.
Pelo Teste da Integral (já que f é positiva, contínua e eventualmente decrescente), a convergência da série é equivalente à convergência dessa integral.

Passo 8

Conclusão final usando o Teste da Integral:
  • Para r>1: a integral converge, logo a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{r}} converge.
  • Para r\le 1: a integral diverge, logo a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{r}} diverge.
Um comentário de incentivo: essa é uma aplicação clássica — a substituição u=\ln x transforma a pergunta numa integral-padrão de potência, e aí fica fácil ver o papel crítico de r=1. Você mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa técnica aparece bastante em provas!

Resposta

A série converge se r>1 e diverge se r\le 1.

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