Mostre que a série
, converge se
e diverge se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o comportamento da série
ou seja, precisamos responder duas perguntas claras:
- Mostrar que a série converge quando
. - Mostrar que a série diverge quando
.
Informações dadas no enunciado:
- A soma começa em
. - O termo geral é
, com constante (real). - Não há outras condições explícitas; devemos analisar a convergência dependendo do parâmetro
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o Teste da Integral (Integral Test). Motivo: o termo geral pode ser visto como amostragem de uma função contínua positiva e (eventualmente) decrescente, e transformar a soma em uma integral permite avaliar a convergência por meio de uma integral imprópria mais simples. Esse método é básico, direto e costuma ser usado exatamente para séries com expressão envolvendo
.
O Teste da Integral (enunciado informal): se
é contínua, positiva e decrescente, e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Passo 3
Definimos a função associada aos termos da série:
Vamos verificar as hipóteses do Teste da Integral (continuidade, positividade e decrescimento, pelo menos a partir de algum ponto).
- Positividade: para
temos , logo . - Continuidade:
é produto/razão de funções contínuas em (exceto em ), portanto é contínua em . - Decrescimento eventual: calculemos
para ver sinal. Usando derivação,
então
Para
suficientemente grande (por exemplo
) temos
, portanto
, e assim
. Ou seja,
é decrescente a partir de algum
. Isso é suficiente para aplicar o Teste da Integral (ele exige decrescimento apenas a partir de um índice).
Portanto podemos aplicar o Teste da Integral à série
.
Passo 4
Aplicação do Teste da Integral: a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Calculemos a integral por substituição. Tomamos a substituição natural
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 6
Agora analisamos a integral
Trata-se de uma integral do tipo potência. Avaliamos por casos conforme o valor de
:
Caso 1:
. Integramos:
Agora analisamos o limite quando
:
- Se
(ou seja, se ), então quando . Assim a integral impropria converge e seu valor é finito:
- Se
(ou seja, se ), então quando . Portanto a integral diverge para .
Caso 2:
. A integral fica
e esse valor tende a
quando
. Logo a integral diverge.
Passo 7
Resumo da análise da integral:
- Se
então converge. - Se
então diverge.
Pelo Teste da Integral (já que
é positiva, contínua e eventualmente decrescente), a convergência da série é equivalente à convergência dessa integral.
Passo 8
Conclusão final usando o Teste da Integral:
- Para
: a integral converge, logo a série converge. - Para
: a integral diverge, logo a série diverge.
Um comentário de incentivo: essa é uma aplicação clássica — a substituição
transforma a pergunta numa integral-padrão de potência, e aí fica fácil ver o papel crítico de
. Você mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa técnica aparece bastante em provas!
Resposta
A série converge se
e diverge se
.