Questão 15.
De exemplos de uma série
e uma sequência
tais que
seja divergente.
Passo 1
O enunciado pede: “Dar exemplos de uma série
e de uma sequência
tais que
seja divergente.”
Informações relevantes dadas (e o que NÃO é imposto):
Informações relevantes dadas (e o que NÃO é imposto):
- Precisamos apenas fornecer exemplos concretos de
e . - Não há outras restrições (por exemplo, não foi exigido que
converja nem que tenda a zero).
Passo 2
Vou escolher exemplos simples e didáticos. Defino
Esses são fáceis de manipular e vão levar a um produto claro. Agora vou explicar por que essa escolha funciona.
Passo 3
Mostro que a escolha para
é uma série conhecida (alternating harmonic) e que ela converge. A série é
Usamos o critério de Leibniz (critério da série alternada): se
é uma sequência positiva, monótona decrescente com
, então a série
converge. Aqui tome
. Verificações:
,
(pois
) e
. Portanto a série
converge (condicionalmente). Explicando de leve: a ideia do critério de Leibniz é que os termos alternados e de módulo decrescente forçam as somas parciais a “oscilar” dentro de um intervalo que encolhe, garantindo limite.
Passo 4
Agora calculo o produto termo a termo e mostro que a série resultante diverge. Para os termos escolhidos,
Logo a série produto é
que é a série harmônica. É um resultado clássico que a série harmônica diverge. Para justificar rapidamente: apliquei o teste da integral (teste de comparação contínua). Considere
para
. Essa função é positiva e decrescente, e
Pelo teste da integral, a divergência da integral implica a divergência da série
. Portanto
diverge.
Passo 5
Resumo e comentário final: com a escolha
temos uma série convergente (alternating harmonic), e com
obtemos
, cuja série diverge. Isso mostra concretamente que, sem restrições adicionais sobre
, o produto termo a termo pode transformar uma série convergente em uma divergente — fique atento a isso na prova!