Questão 15.

De exemplos de uma série \sum a_{n} e uma sequência \left(b_{n}\right) tais que \sum a_{n} b_{n} seja divergente.

Passo 1

O enunciado pede: “Dar exemplos de uma série \sum a_{n} e de uma sequência \left(b_{n}\right) tais que \sum a_{n} b_{n} seja divergente.”
Informações relevantes dadas (e o que NÃO é imposto):
  • Precisamos apenas fornecer exemplos concretos de \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right).
  • Não há outras restrições (por exemplo, não foi exigido que \sum a_{n} converja nem que \left(b_{n}\right) tenda a zero).

Passo 2

Vou escolher exemplos simples e didáticos. Defino
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n},\qquad b_{n}=(-1)^{n}.
Esses são fáceis de manipular e vão levar a um produto claro. Agora vou explicar por que essa escolha funciona.

Passo 3

Mostro que a escolha para \left(a_{n}\right) é uma série conhecida (alternating harmonic) e que ela converge. A série é
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Usamos o critério de Leibniz (critério da série alternada): se \left(u_n\right) é uma sequência positiva, monótona decrescente com \lim_{n\to\infty}u_n=0, então a série \sum (-1)^n u_n converge. Aqui tome u_n=\dfrac{1}{n}. Verificações: u_n>0, u_{n+1}<u_n (pois \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}) e \lim_{n\to\infty}u_n=0. Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}
converge (condicionalmente). Explicando de leve: a ideia do critério de Leibniz é que os termos alternados e de módulo decrescente forçam as somas parciais a “oscilar” dentro de um intervalo que encolhe, garantindo limite.

Passo 4

Agora calculo o produto termo a termo e mostro que a série resultante diverge. Para os termos escolhidos,
a_{n}b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}\cdot(-1)^{n}=\frac{(-1)^{2n}}{n}=\frac{1}{n}.
Logo a série produto é
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. É um resultado clássico que a série harmônica diverge. Para justificar rapidamente: apliquei o teste da integral (teste de comparação contínua). Considere f(x)=1/x para x\ge1. Essa função é positiva e decrescente, e
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{T\to\infty}\ln T=+\infty.
Pelo teste da integral, a divergência da integral implica a divergência da série \sum_{n=1}^{\infty}1/n. Portanto \sum a_{n}b_{n} diverge.

Passo 5

Resumo e comentário final: com a escolha \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n} temos uma série convergente (alternating harmonic), e com \displaystyle b_{n}=(-1)^{n} obtemos \displaystyle a_{n}b_{n}=\dfrac{1}{n}, cuja série diverge. Isso mostra concretamente que, sem restrições adicionais sobre \left(b_{n}\right), o produto termo a termo pode transformar uma série convergente em uma divergente — fique atento a isso na prova!

Resposta

a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n},\quad b_{n}=(-1)^{n}. Então \sum a_{n}b_{n}=\sum \dfrac{1}{n}, que diverge.

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