Mostre usando a definição de convergência de sequência que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de convergência de sequência, que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0.\n
Informações dadas: a sequência é a_n=\frac{1}{2^{n}}.\n
O que devemos provar: para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, \left|\frac{1}{2^{n}}-0\right|<\varepsilon.

Passo 2

Relembrando a definição (de forma bem didática): dizemos que \lim_{n\to\infty} a_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, sempre que n\ge N, temos |a_n-L|<\varepsilon.\n
No nosso caso L=0 e a_n=\frac{1}{2^{n}}. Então devemos mostrar: dado \varepsilon>0, encontrar N\in\mathbb{N} com a propriedade que, para todo n\ge N, \left|\frac{1}{2^{n}}\right|<\varepsilon.

Passo 3

Note que \frac{1}{2^{n}}>0 para todo n, então \left|\frac{1}{2^{n}}\right|=\frac{1}{2^{n}}. Portanto a condição fica
\frac{1}{2^{n}}<\varepsilon.
Invertendo os lados (tudo positivo) obtemos uma condição equivalente
2^{n}>\frac{1}{\varepsilon}.

Passo 4

Agora precisamos garantir a existência de um inteiro N que satisfaça 2^{N}>\frac{1}{\varepsilon}. Como as potências de 2 crescem sem limite quando n aumenta, existe sempre um inteiro maior que qualquer número real dado; mais formalmente, se tomarmos
N=\left\lfloor \log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor + 1,
então N é um inteiro e, por construção,
N>\log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right).
Aplicando 2^{(\cdot)} às duas desigualdades (função estritamente crescente) obtemos
2^{N}>2^{\log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)}=\frac{1}{\varepsilon}.
Logo, para qualquer n\ge N temos 2^{n}\ge 2^{N}>\frac{1}{\varepsilon}, e portanto
\frac{1}{2^{n}}<\varepsilon.

Passo 5

Recapitulando em linguagem de prova: dado \varepsilon>0, escolha N=\left\lfloor \log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor + 1. Então para todo n\ge N vale \left|\frac{1}{2^{n}}-0\right|=\frac{1}{2^{n}}<\varepsilon. Isso mostra, pela definição, que \frac{1}{2^{n}} converge para 0 quando n\to\infty.\n\nUm exemplo numérico rápido para fixar: se \varepsilon=0,01, então \log_{2}(1/\varepsilon)=\log_{2}(100)\approx 6,64; \lfloor 6,64\rfloor+1=7. Para n\ge 7 temos \frac{1}{2^{n}}\le\frac{1}{2^{7}}=\frac{1}{128}\approx 0,0078<0,01.

Resposta

0

Exercícios relacionados